隐函数

                     

贡献者: 零穹

1. 一元隐函数

   假定二变元 $x$ 及 $y$ 的值用方程联系着,若把这方程的一切项移到左边,则得到一般的形式

\begin{equation} F(x,y)=0 \end{equation}
此处 $F(x,y)$ 是在某一区域给定的二元函数.

   若函数 $y=f(x)$ 由式 1 给定,但未解出,则称其为隐函数;若 $y$ 对 $x$ 的关系 $y=f(x)$ 被(直接)解出来,就称为显函数

2. 多元隐函数

   同一元隐函数一样,若多个变元的方程

\begin{equation} F(x_1,\cdots,x_n,y)=0 \end{equation}
确定 $y$ 为 $n$ 个变元 $x_1,\cdots,x_n$ 的函数 $y=f(x_1,\cdots,x_n)$,若未解出具体的表达式,则 $y=f(x_1,\cdots,x_n)$ 称为$n$ 元隐函数

   在一般的情形,若 $m$ 个方程组

\begin{equation} \begin{aligned} &F_1(x_1,\cdots,x_n;y_1\cdots,y_m)=0\\ \vdots\\ &F_m(x_1,\cdots,x_n;y_1\cdots,y_m)=0 \end{aligned} \end{equation}
确定 $m$ 个变元 $y_1,\cdots,y_m$ 为另 $n$ 个变元 $x_1,\cdots,x_n$ 的函数
\begin{equation} y_1=f_1(x_1,\cdots,x_n);\cdots;y_m=f_m(x_1,\cdots,x_n) \end{equation}
但未解出,则式 4 $m$ 个变元 $y_1,\cdots,y_m$ 为 $n$ 个变元 $x_1,\cdots,x_n$ 的隐函数

3. 隐函数的单值性

   方程式 1 确定的函数 $y=f(x)$ 可以是多值函数,即存在某一个 $x$,使得对于几个 $y$ 值,它们与 $x$ 同时满足方程式 1

   我们关心的是隐函数的存在及单值性问题.先来解释这一问题的几何意义.方程式 1 在某种场合下表示为平面曲线,在这种情形,它称为隐示方程,问题归结为:曲线(或它的一部分)式 1 能否用右边单值的函数的普通方程 $y=f(x)$ 来表示.几何意义是,曲线(或它的一部分)与平行于 $y$ 轴的直线仅相交于一点.例如,方程

\begin{equation} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1=0 \end{equation}
确定一个椭圆(图 1 ).它在 $[-a,a]$ 内显然为双值函数.

图
图 1:隐示方程式 5 确定的椭圆曲线

   通常我们只关心式 1 的曲线上某一点附近的领域 $y$ 对 $x$ 的单值性.例如在椭圆(图 1 )的情形,显然可以判定,方程式 5 ,除椭圆长轴上的顶点 $A,A''$ 外,在椭圆上任一点的充分小的领域内确定纵标 $y$ 为横标 $x$ 的单值函数.为了描述某一点附近的邻域(在直角坐标中通常为长方形邻域,比如图 1 中椭圆曲线上的小长方形邻域),需先了解一般高维空间中的长方体的表示方式.

定义 1 n 维“长方体”

   $n$ 维空间中,坐标各自相互独立地满足于不等式

\begin{equation} a_1\leq x_1\leq b_1,\cdots a_n\leq x_n\leq b_n \end{equation}
的一切点 $M(x_1,\cdots,x_n)$ 所成的集,称为 $n$ 维闭的长方体.记为
\begin{equation} [a_1,b_1;\cdots;a_n,b_n] \end{equation}
若在不等式式 6 中去掉等号,就可定义$n$ 维开的长方体,记作
\begin{equation} (a_1,b_1;\cdots;a_n,b_n) \end{equation}

   1 维长方体通常称线段,2 维长方体称为长方形(或矩形),通常空间的长方体则对应三维长方体.

定义 2 一元隐函数在某一点附近的单值性

   在矩形 $(a,b;c,d)$ 内方程式 1 $F(x,y)=0$ 确定 $y$ 为 $x$ 的单值函数,若在区间 $(a,b)$ 内的 $x$ 的每一值,在区间 $(c,d)$ 内方程式 1 有且仅有一个根 $y$.

定义 3 多元隐函数在一点附近的单值性

   在 $n+1$ 维长方体 $(a_1,b_1;\cdots;a_n,b_n;c,d)$ 中,方程式 2 $F(x_1,\cdots,x_n,y)=0$ 确定 $y$ 为 $x_1,\cdots,x_n$ 的单值函数,若在 $n$ 维长方体 $(a_1,b_1;\cdots;a_n,b_n)$ 中任一点 $(x_1,\cdots,x_n)$,方程式 2 有且仅有一个根 $y$ 位于区间 $(c,d)$ 内.

定义 4 一般隐函数在一点附近的单值性

   在 $n+m$ 维长方体 $(a_1,b_1;\cdots;a_n,b_n;c_1,d_1;\cdots;c_m,d_m)$ 中,方程组式 3

\begin{equation} \begin{aligned} &F_1(x_1,\cdots,x_n;y_1\cdots,y_m)=0\\ \vdots\\ &F_m(x_1,\cdots,x_n;y_1\cdots,y_m)=0 \end{aligned} \end{equation}
确定 $y_1,\cdots,y_m$ 为 $x_1,\cdots,x_n$ 的单值函数,若在 $n$ 维长方体 $(a_1,b_1;\cdots;a_n,b_n)$ 中任一点 $(x_1,\cdots,x_n)$,方程组式 3 有且仅有一组属于 $m$ 维长方体 $(c_1,d_1;\cdots;c_m,d_m)$ 的解 $y_1,\cdots,y_m$.


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