隐函数
贡献者： 零穹
1. 一元隐函数
假定二变元 $x$ 及 $y$ 的值用方程联系着，若把这方程的一切项移到左边，则得到一般的形式
\begin{equation}
F(x,y)=0~.
\end{equation}
若函数 $y=f(x)$ 由式 1 给定，但未解出，则称其为隐函数；若 $y$ 对 $x$ 的关系 $y=f(x)$ 被（直接）解出来，就称为显函数。
2. 多元隐函数
同一元隐函数一样，若多个变元的方程
\begin{equation}
F(x_1,\cdots,x_n,y)=0~,
\end{equation}
在一般的情形，若 $m$ 个方程组
\begin{equation}
\begin{aligned}
F_1(x_1,\cdots,x_n;y_1\cdots,y_m)&=0~,\\
&\ \vdots\\
F_m(x_1,\cdots,x_n;y_1\cdots,y_m)&=0~.
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
y_1=f_1(x_1,\cdots,x_n);\cdots;y_m=f_m(x_1,\cdots,x_n)~
\end{equation}
3. 隐函数的单值性
方程式 1 确定的函数 $y=f(x)$ 可以是多值函数，即存在某一个 $x$，使得对于几个 $y$ 值，它们与 $x$ 同时满足方程式 1 。
我们关心的是隐函数的存在及单值性问题。先来解释这一问题的几何意义。方程式 1 在某种场合下表示为平面曲线，在这种情形，它称为隐示方程，问题归结为：曲线（或它的一部分）式 1 能否用右边单值的函数的普通方程 $y=f(x)$ 来表示。几何意义是，曲线（或它的一部分）与平行于 $y$ 轴的直线仅相交于一点。例如，方程
\begin{equation}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1=0~
\end{equation}
图 1：隐示方程式 5 确定的椭圆曲线
通常我们只关心式 1 的曲线上某一点附近的领域 $y$ 对 $x$ 的单值性。例如在椭圆（图 1 ）的情形，显然可以判定，方程式 5 ，除椭圆长轴上的顶点 $A,A''$ 外，在椭圆上任一点的充分小的领域内确定纵标 $y$ 为横标 $x$ 的单值函数。为了描述某一点附近的邻域（在直角坐标中通常为长方形邻域，比如图 1 中椭圆曲线上的小长方形邻域），需先了解一般高维空间中的长方体的表示方式。
1 维长方体通常称线段，2 维长方体称为长方形（或矩形），通常空间的长方体则对应三维长方体。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。
友情链接： 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利