潮汐力

                     

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预备知识 万有引力、引力势能,离心力
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图 1:潮汐力分布示意图(地球参考系)

   我们先以月球对地球的潮汐力为例,并忽略地球自转、公转等因素。

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图 2:月球对地球各点的引力不同

   众所周知,引力与两点距离有关: $$ \boldsymbol{\mathbf{F}} _\text{引力}= - \frac{GMm}{r^2}\hat R \qquad a_\text{引力}=-\frac{GM}{r^2}\hat R$$

   如图 2 所示,由于月球到地球各点的距离不同,所以准确的说,月球对地球各点的引力也不同,而潮汐现象正是由于引力的这种细微差异。地球表面上正对月球 $A$ 点、背对月球的 $B$ 点的引力为:

\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{F}} _A &= - \frac{GM_\text{月}\Delta m}{(R-r)^2} \hat R\\ \boldsymbol{\mathbf{F}} _B &= -\frac{GM_\text{月} \Delta m}{(R+r)^2}\hat R\\ \end{aligned} \end{equation}
以及月球对地球整体施加的引力加速度(转动的向心加速度)
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} _\text{地球} = -\frac{GM_\text{月}}{R^2}\hat R \end{equation}
其中 $r$ 是地球半径,$R$ 是地月距离,$\hat R$ 是从月球指向地球的单位方向向量,负号表示引力方向是从地球指向月球的。

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图 3:地球表面上,正对与背对月球的两点都被拉起

   而从地球这一非惯性参考系上看,各点都还受一个离心惯性力(不是地球自转的离心惯性力,而是地球与月球转动的): $$f_\text{惯} = \boldsymbol{\mathbf{a}} _\text{惯} \Delta m =\frac{GM_\text{月}\Delta m}{R^2}\hat R$$。如图 3 所示,考虑到这个因素后,有趣的事情发生了:在一个地球人看来,地球表面上正对与背对月球的两点似乎都正被拉起,这就是潮汐力。某种意义上,潮汐力也是由于处于地球这一非惯性参考系的我们的错觉。

   具体而言,A 点处的潮汐力为 $$ \boldsymbol{\mathbf{F}} _A' = \boldsymbol{\mathbf{F}} _A + a_\text{惯}\Delta m = -\frac{GM_\text{月}\Delta m}{(R-r)^2}\hat R + \frac{GM_\text{月}\Delta m}{R^2} \hat R \approx -\frac{2rGM_\text{月}\Delta m}{R^3} \hat R $$ 同理,B 点处的潮汐力为 $$ \boldsymbol{\mathbf{F}} _B' = \boldsymbol{\mathbf{F}} _B + a_\text{惯}\Delta m \approx \frac{2rGM_\text{月}\Delta m}{R^3} \hat R $$

   再强调一次,无论是正对月球的一面,还是背对月球的一面,潮汐力的方向都是离开地表的。因此,潮汐力不能简单地理解为 “因为地球的一面离月球更近,所以那一侧的海洋被吸起了”。由于潮汐力的这一非同寻常的性质,因此一天之内,地球出现两次潮汐现象。

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图 4:一天内,地球出现两次潮汐现象

   同时,我们发现潮汐力是与距离的三次方成反比的,这意味着感性上说 “潮汐力比引力衰减得更快”。

习题 1 谁是弄潮儿?

   你可能觉得太阳的质量远比月球大,因此太阳对地球产生的潮汐作用更明显?是这样的吗?1

   绘制地球表面潮汐力分布的 octave/matlab 代码:

clc
clear

[x y z] = sphere(20);
xs = -60; %地月距离大概是地球半径的60倍
scatter3(xs,0,0);

u = x - xs;
v = y;
w = z;

r = sqrt(u.^2+v.^2+w.^2);
mag = 10^4./(r.^2);

u = -mag.*u./r;
v = -mag.*v./r;
w = -mag.*w./r;
u = u + 10^4/(xs^2); %地球参考系这一非惯性参考系中的离心力。注释掉这一行即可得到月球引力在地球表面的分布。

hold on
axis equal
axis off
surf(x,y,z,'FaceColor','none','EdgeColor',[0.8 0.8 0.8]);
axis([-1.2 1.2 -1.2 1.2 -1.2 1.2])
quiver3(x,y,z,u,v,w);
view(-30,30);
hold off


1. ^ 月球产生的潮汐力应该大概是太阳的二倍多。但是,这不代表太阳对潮汐现象没有影响。


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