潮汐力

                     

贡献者: ACertainUser; addis

  • 本文处于草稿阶段。
  • 本文需要更多参考文献。
预备知识 万有引力、引力势能,离心力
图
图 1:潮汐力分布示意图(地球参考系)

   我们先以月球对地球的潮汐力为例,并忽略地球自转、公转等因素。

图
图 2:月球对地球各点的引力不同

   众所周知,引力与两点距离有关: $$ \boldsymbol{\mathbf{F}} _\text{引力}= - \frac{GMm}{R^2}\hat R~.$$

   如图 2 所示,由于月球到地球各点的距离不同,所以准确的说,月球对地球各点的引力也不同,而潮汐现象正是由于引力的这种细微差异。地球表面上正对月球 $A$ 点、背对月球的 $B$ 点的引力分别为:

\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{F}} _A &= - \frac{GM_\text{月}\Delta m}{(R-r)^2} \hat R~,\\ \boldsymbol{\mathbf{F}} _B &= -\frac{GM_\text{月} \Delta m}{(R+r)^2}\hat R~.\\ \end{aligned} \end{equation}

图
图 3:地球与月球正相互环绕

   同时别忘了,地球与月球正相互环绕,因此地球整体还有向心加速度

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} _\text{地球} = -\frac{GM_\text{月}}{R^2}\hat R~. \end{equation}
以上二式中,$r$ 是地球半径,$R$ 是地月距离,$\hat R$ 是从月球指向地球的单位方向向量,负号表示引力方向是从地球指向月球的。

图
图 4:地球表面上,正对与背对月球的两点都被拉起

   如图 4 所示,从地球这一非惯性参考系上看,地球整体有加速度意味着各点都还受一个离心力(不是地球自转的离心惯性力,而是地球与月球转动的): $$f_\text{惯} = - \boldsymbol{\mathbf{a}} _\text{地球} \Delta m =\frac{GM_\text{月}\Delta m}{R^2}\hat R~.$$考虑到这个因素后,有趣的事情发生了:在一个地球人看来,地球表面上正对与背对月球的两点似乎都正被拉起,这就是潮汐力。某种意义上,潮汐力也是由于处于地球这一非惯性参考系的我们的错觉。

   具体而言,A 点处的潮汐力为 $$ \boldsymbol{\mathbf{F}} _A' = \boldsymbol{\mathbf{F}} _A - a_\text{地球}\Delta m = -\frac{GM_\text{月}\Delta m}{(R-r)^2}\hat R + \frac{GM_\text{月}\Delta m}{R^2} \hat R \approx -\frac{2rGM_\text{月}\Delta m}{R^3} \hat R~. $$ 同理,B 点处的潮汐力为 $$ \boldsymbol{\mathbf{F}} _B' = \boldsymbol{\mathbf{F}} _B - a_\text{地球}\Delta m \approx \frac{2rGM_\text{月}\Delta m}{R^3} \hat R~. $$

   从图 4 可以发现,无论是正对月球的一面,还是背对月球的一面,潮汐力的方向都是离开地表的。因此,潮汐力不能简单地理解为 “因为地球的一面离月球更近,所以那一侧的海洋被吸起了”。由于潮汐力的这一非同寻常的性质(再加上之前被忽略的地球自转),因此一天之内,地球出现两次潮汐现象。

图
图 5:一天内,地球出现两次潮汐现象

   同时,我们发现潮汐力是与距离的三次方成反比的,这意味着感性上说 “潮汐力比引力衰减得更快”。

习题 1 谁是弄潮儿?

   你可能觉得太阳的质量远比月球大,因此太阳对地球产生的潮汐作用更明显?是这样的吗?1

   绘制地球表面潮汐力分布的 Matlab 代码:

clc
clear

[x y z] = sphere(20);
xs = -60; %地月距离大概是地球半径的60倍
scatter3(xs,0,0);

u = x - xs;
v = y;
w = z;

r = sqrt(u.^2+v.^2+w.^2);
mag = 10^4./(r.^2);

u = -mag.*u./r;
v = -mag.*v./r;
w = -mag.*w./r;
u = u + 10^4/(xs^2); %地球参考系这一非惯性参考系中的离心力。注释掉这一行即可得到月球引力在地球表面的分布。

hold on
axis equal
axis off
surf(x,y,z,'FaceColor','none','EdgeColor',[0.8 0.8 0.8]);
axis([-1.2 1.2 -1.2 1.2 -1.2 1.2])
quiver3(x,y,z,u,v,w);
view(-30,30);
hold off


1. ^ 月球产生的潮汐力应该大概是太阳的二倍多。但是,这不代表太阳对潮汐现象没有影响。


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利