Sylow定理

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 群作用

   拉格朗日定理(定理 3 )揭示了子群阶数的特点.可惜的是,其逆命题 “如果 $n\mid \left\lvert G \right\rvert $ 则 $G$ 总有阶数为 $n$ 的子群” 是不成立的.比如说,交错群 $A_4$ 就没有 $6$ 阶的子群——你可以动手验证这一点.

   但是,挪威数学家 Peter Ludwig Sylow 于 1872 年发表的文章1指出,在 $n$ 是素数或者素数的幂时,拉格朗日定理逆命题是成立的.同时他还发现所谓的 Sylow 子群全都是彼此共轭的.

   举个例子:考虑阶数为 $300$ 的群 $G$,对 $300$ 进行素因子分解得 $300=2^2\cdot 3^2\cdot 5^2$,那么阶数为 $2^2$ 的子群总存在,且它们彼此共轭.不过,$2$ 阶子群虽存在,却不能总保证所有 $2$ 阶子群彼此共轭.

定义 1 Sylow 子群

   给定群 $G$ 和它的子群 $H$.如果 $ \left\lvert H \right\rvert =p^k$,其中 $p$ 是素数,且 $p^{k+1}\not\mid \left\lvert G \right\rvert $,那么称 $H$ 是 $G$ 的一个 $p$-Sylow 子群,或Sylow-$p$子群,或直接统称为Sylow 子群

   群 $G$ 的全体 Sylow $p$-子群构成的集合,记为 $ \operatorname {Syl}_p(G)$.

习题 1 

   考虑循环群 $C_{12}$,求它的所有 Sylow 子群.

例 1 

   考虑置换群 $S_4$.则

\begin{equation} C=\{1, \begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3&4\end{pmatrix} , \begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&4\end{pmatrix} , \begin{pmatrix}1&4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&3\end{pmatrix} , \begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix} , \begin{pmatrix}3&4\end{pmatrix} , \begin{pmatrix}1&3&2&4\end{pmatrix} , \begin{pmatrix}1&4&2&3\end{pmatrix} \} \end{equation}
是它的一个 Sylow-$2$ 子群.

   $C$ 是 $ \begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3&4\end{pmatrix} $ 的中心,因此我们可以类似构造出 $S_4$ 的剩下两个 Sylow-$2$ 子群,分别是 $ \begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&4\end{pmatrix} $ 和 $ \begin{pmatrix}1&4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&3\end{pmatrix} $ 的中心.这三个 Sylow-$2$ 子群的交集是 $V_4=\{1, \begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3&4\end{pmatrix} , \begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&4\end{pmatrix} , \begin{pmatrix}1&4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&3\end{pmatrix} \}$.

   如果把一个正方形的四个顶点顺时针依次编号为 $1, 3, 2, 4$,则不难看出 $C$ 实际上就是正方形的对称群 $D_4$.类似地,$S_4$ 的每个 Sylow-$2$ 子群都同构于 $D_4$.

   Sylow 定理通常被拆分成三个部分来表述.

定理 1 Sylow 第一定理

   取有限群$G$.如果素数 $p\mid \left\lvert G \right\rvert $,那么 $G$ 一定有一个 Sylow $p$-子群 $H_p$.

   证明

   令 $ \left\lvert G \right\rvert =p^km$,其中 $p\not\mid m$.

   先证明当 $G$ 是阿贝尔群时,$p$ 阶子群存在.

   任取 $g\in G$,如果 $g$ 的阶(定义 2 )$ \operatorname {ord}g$ 是 $p$ 的倍数 $np$,那么 $g^n$ 生成的循环群就是 $p$ 阶的.否则,设 $ \operatorname {ord}g=r$,取 $g$ 生成的子群 $H_g$,它是 $G$ 的正规子群(因为 $G$ 阿贝尔),于是 $ \left\lvert G/H_g \right\rvert =p^km/r$.在 $G/H_g$ 中再任挑一个元素,如果该元素的阶不是$p$,同样求出其循环群后用 $ \left\lvert G/H_g \right\rvert $ 去除掉这个循环群,得到商群.易证有限步后,总能得到一个阶数为 $p$的倍数的元素2.于是这个元素的一个幂生成的循环群是 $p$ 阶的.

   下设 $G$ 是任意的有限群,$Z(G)$ 是它的中心.设定理对于阶数小于 $p^km$ 的群都成立,然后分类进行归纳讨论.

   如果 $p\mid \left\lvert Z(G) \right\rvert $,那么由于 $Z(G)$ 是阿贝尔群,故存在 $G$ 的 $p$ 阶子群 $A$.由于 $A\subseteq Z(G)$,故 $A\vartriangleleft G$.于是得到商群 $G/A$,其阶数为 $p^{k-1}m$.由归纳假设,$G/A$ 有一个 $p^{k-1}$ 阶 Sylow 子群,因此这个子群是 $G$ 的 $p^k$ 阶子群,从而是 $G$ 的 Sylow $p$-子群.

   如果 $p\not\mid \left\lvert Z \right\rvert (G)$,那么根据共轭类等式(The Class Equation定理 3 ),

\begin{equation} \left\lvert G \right\rvert = \left\lvert Z(G) \right\rvert + \sum_{C\in O, \left\lvert C \right\rvert > 1} \left\lvert C \right\rvert \end{equation}
其中 $O$ 是 $G$ 在伴随作用下全体轨道构成的集合.

   由于 $p\mid \left\lvert G \right\rvert $,$p\not\mid \left\lvert Z(G) \right\rvert $,故存在 $ \left\lvert C \right\rvert $ 使得 $p\not\mid \left\lvert C \right\rvert $,即存在 $x\in G$ 使得 $p\not\mid \left\lvert C_x \right\rvert $,故 $ \left\lvert C_x \right\rvert \mid m$.由推论 2 ,得 $ \left\lvert C_G(x) \right\rvert =p^km/ \left\lvert C_x \right\rvert =p^ks < \left\lvert G \right\rvert $3,其中 $s > 1$.因此由归纳假设,$C_G(x)$ 有一个 $p^k$ 阶子群 $A$,从而 $G$ 有个 Sylow $p$-子群 $A$.

   证毕

定理 2 Sylow 第二定理

   取有限群$G$,它的所有 Sylow $p$-子群彼此共轭.

   证明

   令 $ \left\lvert G \right\rvert =p^km$,其中 $p\not\mid m$.

   任取 $G$ 的两个 Sylow $p$-子群 $A$ 和 $B$,记 $G/B$ 是 $B$ 在 $G$ 中的左陪集构成的集合4.考虑群 $A$ 作用在集合 $G/B$ 上,方式是左伴随作用

   据定理 5

\begin{equation} \left\lvert G/B \right\rvert = \left\lvert \operatorname {Fix}_A(G/B) \right\rvert \mod p \end{equation}

   由 Sylow 子群的定义,知 $ \left\lvert G/B \right\rvert =m$.故 $m \left\lvert \operatorname {Fix}_A(G/B) \right\rvert \mod p$,意味着 $ \left\lvert \operatorname {Fix}_A(G/B) \right\rvert \neq 0$,即存在不动点$gB\in G/B$.

   因此 $agB=gB$ 对所有 $a\in A$ 成立,即 $ag\in gB$,即 $A\subseteq gBg^{-1}$.又因为 $ \left\lvert A \right\rvert =p= \left\lvert B \right\rvert = \left\lvert gBg^{-1} \right\rvert $,故 $A=gBg^{-1}$.

   证毕

定理 3 Sylow 第三定理

   取有限群$G$,设 $n_p$ 是它的所有 Sylow $p$-子群的数目.令 $ \left\lvert G \right\rvert =p^km$,其中 $p\not\mid m$.

   那么 $n_p\equiv 1\mod p$,或者说 $p\mid n_p-1$;且 $n_p\mid m$.

   证明

   如果 $ \operatorname {Syl}_p(G)$ 只有一个元素,即 $n_p=1$,那定理自然成立.下设 $n_p > 1$.

   证明第一个性质 $n_p\equiv 1\mod p$:

   任取 $P\in \operatorname {Syl}_p(G)$,令 $P$ 在 $ \operatorname {Syl}_p(G)$ 上有共轭作用.这个作用的合理性由定理 2 保证.

   由于 $n_p > 1$,故可取 $Q\in \operatorname {Syl}_p(G)-\{P\}$.由定理 2 ,存在 $g\in G$ 使得 $Q=gPg^{-1}$.

   $P\neq Q$ 且 $ \left\lvert P \right\rvert = \left\lvert Q \right\rvert =p^k$ $\implies$ 存在 $h\in P-Q$ 使得 $ghg^{-1}\in Q-P$.于是 $g^{-1}(ghg^{-1})g=h\in P$,这意味着 $g^{-1}Qg\neq Q$.因此,$ \operatorname {Fix}_P( \operatorname {Syl}_p(G))$ 只有 $P$ 这一个元素,从而 $ \left\lvert \operatorname {Fix}_P( \operatorname {Syl}_p(G)) \right\rvert =1$.

   由定理 5 ,注意 $ \left\lvert P \right\rvert =p^k$,

\begin{equation} \begin{aligned} n_p= \left\lvert \operatorname {Syl}_p(G) \right\rvert \equiv \left\lvert \operatorname {Fix}_P( \operatorname {Syl}_p(G)) \right\rvert \mod p\equiv 1\mod p \end{aligned} \end{equation}

   证明第二个性质 $n_p\mid m$:

   考虑整个 $G$ 按共轭作用,作用在 $ \operatorname {Syl}_p(G)$ 上.由定理 2 ,这是一个可递作用,因此只有一个轨道,因此任意元素的轨道中元素数量是 $n_p$.由推论 1 ,$n_p$ 等于 $ \operatorname {Syl}_p(G)$ 中任意元素的迷向子群指数.又由拉格朗日定理定理 3 )可知子群指数整除群的阶,即 $n_p\mid p^km$.

   由式 4 ,$n_p\not \mid p^k$,从而 $n_p\mid m$.

   证毕

   定理 3 中第二个性质的证明过程中也蕴含了这一关系:$n_p=[G: \operatorname {Syl}_p(G)]$(子群的指数,见定义 3 ).

定理 4 

   取有限群$G$,令 $P$ 是 $G$ 的一个 Sylow $p$-子群,$N(P)$ 是 $P$ 的正规化子(定义 2 ).

   则对 $G$ 的子群 $H\supseteq N(P)$,必有 $N(H)=H$.

   证明

   显然 $H\subseteq N(H)$.下证 $N(H)\subseteq H$.

   由于 $P\subseteq N(P)\subseteq H$,由定义显然可知,$P$ 也是 $H$ 的一个 Sylow $p$-子群.

   任取 $x\in N(H)$,则 $xPx^{-1}\subseteq H$ 也是 $H$ 的一个 Sylow $p$-子群.于是由定理 2 ,存在 $h\in H$ 使得 $xPx^{-1}=hPh^{-1}$.

   于是 $h^{-1}xPx^{-1}h=P$,这意味着 $h^{-1}x\in N(P)\subseteq H$.故 $x\in H$,即 $N(H)\subseteq H$.

   证毕


1. ^ L. Sylow, Théorèmes sur les groupes de substitutions, Mathematische Annalen 5 (1872), 584–594. 对此文的英文翻译见 Theorems on groups of substitutions
2. ^ 注意,这里说的阶数逻辑上有跳步.比如说,在 $G/H_g$ 中找到了一个 $h$,其阶数为 $sp$,那这只能说明 $h^{sp}\in H_g$.不过由于 $h^{sp}$ 本身也是有限阶的,因此 $h$ 在 $G$ 中的阶数也确实是 $p$ 的倍数.
3. ^ $C_G(x)$ 即 $x$ 的中心化子,或者说 $x$ 在伴随作用下的迷向子群.
4. ^ 不是商群,因为不能保证 $B\vartriangleleft G$.


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利