Sylow 定理

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 群作用

   拉格朗日定理(定理 3 )揭示了子群阶数的特点。可惜的是,其逆命题 “如果 $n\mid \left\lvert G \right\rvert $ 则 $G$ 总有阶数为 $n$ 的子群” 是不成立的。比如说,交错群 $A_4$ 就没有 $6$ 阶的子群——你可以动手验证这一点。

   但是,挪威数学家 Peter Ludwig Sylow 于 1872 年发表的文章1指出,在 $n$ 是素数或者素数的幂时,拉格朗日定理逆命题是成立的。同时他还发现所谓的 Sylow 子群全都是彼此共轭的。

   举个例子:考虑阶数为 $300$ 的群 $G$,对 $300$ 进行素因子分解得 $300=2^2\cdot 3^2\cdot 5^2$,那么阶数为 $2^2$ 的子群总存在,且它们彼此共轭。不过,$2$ 阶子群虽存在,却不能总保证所有 $2$ 阶子群彼此共轭。

定义 1 Sylow 子群

   给定群 $G$ 和它的子群 $H$。如果 $ \left\lvert H \right\rvert =p^k$,其中 $p$ 是素数,且 $p^{k+1}\not\mid \left\lvert G \right\rvert $,那么称 $H$ 是 $G$ 的一个 $p$-Sylow 子群,或Sylow-$p$子群,或直接统称为Sylow 子群

   群 $G$ 的全体 Sylow $p$-子群构成的集合,记为 $ \operatorname {Syl}_p(G)$。

习题 1 

   考虑循环群 $C_{12}$,求它的所有 Sylow 子群。

例 1 

   考虑置换群 $S_4$。则

\begin{equation} \begin{aligned} C=\\ &\{1, \begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3&4\end{pmatrix} , \begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&4\end{pmatrix} , \begin{pmatrix}1&4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&3\end{pmatrix} ,\\ & \begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix} , \begin{pmatrix}3&4\end{pmatrix} , \begin{pmatrix}1&3&2&4\end{pmatrix} , \begin{pmatrix}1&4&2&3\end{pmatrix} \} \end{aligned}~ \end{equation}
是它的一个 Sylow-$2$ 子群。

   $C$ 是 $ \begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3&4\end{pmatrix} $ 的中心,因此我们可以类似构造出 $S_4$ 的剩下两个 Sylow-$2$ 子群,分别是 $ \begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&4\end{pmatrix} $ 和 $ \begin{pmatrix}1&4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&3\end{pmatrix} $ 的中心。这三个 Sylow-$2$ 子群的交集是 $V_4=\{1, \begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3&4\end{pmatrix} , \begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&4\end{pmatrix} , \begin{pmatrix}1&4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&3\end{pmatrix} \}$。

   如果把一个正方形的四个顶点顺时针依次编号为 $1, 3, 2, 4$,则不难看出 $C$ 实际上就是正方形的对称群 $D_4$。类似地,$S_4$ 的每个 Sylow-$2$ 子群都同构于 $D_4$。

   Sylow 定理通常被拆分成三个部分来表述。

定理 1 Sylow 第一定理

   取有限群$G$。如果素数 $p\mid \left\lvert G \right\rvert $,那么 $G$ 一定有一个 Sylow $p$-子群 $H_p$。

   证明

   令 $ \left\lvert G \right\rvert =p^km$,其中 $p\not\mid m$。

   先证明当 $G$ 是阿贝尔群时,$p$ 阶子群存在。

   任取 $g\in G$,如果 $g$ 的阶(定义 2 )$ \operatorname {ord}g$ 是 $p$ 的倍数 $np$,那么 $g^n$ 生成的循环群就是 $p$ 阶的。否则,设 $ \operatorname {ord}g=r$,取 $g$ 生成的子群 $H_g$,它是 $G$ 的正规子群(因为 $G$ 阿贝尔),于是 $ \left\lvert G/H_g \right\rvert =p^km/r$。在 $G/H_g$ 中再任挑一个元素,如果该元素的阶不是$p$,同样求出其循环群后用 $ \left\lvert G/H_g \right\rvert $ 去除掉这个循环群,得到商群。易证有限步后,总能得到一个阶数为 $p$的倍数的元素2。于是这个元素的一个幂生成的循环群是 $p$ 阶的。

   下设 $G$ 是任意的有限群,$Z(G)$ 是它的中心。设定理对于阶数小于 $p^km$ 的群都成立,然后分类进行归纳讨论。

   如果 $p\mid \left\lvert Z(G) \right\rvert $,那么由于 $Z(G)$ 是阿贝尔群,故存在 $G$ 的 $p$ 阶子群 $A$。由于 $A\subseteq Z(G)$,故 $A\vartriangleleft G$。于是得到商群 $G/A$,其阶数为 $p^{k-1}m$。由归纳假设,$G/A$ 有一个 $p^{k-1}$ 阶 Sylow 子群,因此这个子群是 $G$ 的 $p^k$ 阶子群,从而是 $G$ 的 Sylow $p$-子群。

   如果 $p\not\mid \left\lvert Z(G) \right\rvert $,那么根据共轭类等式(The Class Equation定理 3 ),

\begin{equation} \left\lvert G \right\rvert = \left\lvert Z(G) \right\rvert + \sum_{C\in O, \left\lvert C \right\rvert >1} \left\lvert C \right\rvert ~, \end{equation}
其中 $O$ 是 $G$ 在伴随作用下全体轨道构成的集合。

   由于 $p\mid \left\lvert G \right\rvert $,$p\not\mid \left\lvert Z(G) \right\rvert $,故存在 $ \left\lvert C \right\rvert $ 使得 $p\not\mid \left\lvert C \right\rvert $,即存在 $x\in G$ 使得 $p\not\mid \left\lvert C_x \right\rvert $,故 $ \left\lvert C_x \right\rvert \mid m$。由推论 2 ,得 $ \left\lvert C_G(x) \right\rvert =p^km/ \left\lvert C_x \right\rvert =p^ks< \left\lvert G \right\rvert $3,其中 $s>1$。因此由归纳假设,$C_G(x)$ 有一个 $p^k$ 阶子群 $A$,从而 $G$ 有个 Sylow $p$-子群 $A$。

   证毕

定理 2 Sylow 第二定理

   取有限群$G$,它的所有 Sylow $p$-子群彼此共轭。

   证明

   令 $ \left\lvert G \right\rvert =p^km$,其中 $p\not\mid m$。

   任取 $G$ 的两个 Sylow $p$-子群 $A$ 和 $B$,记 $G/B$ 是 $B$ 在 $G$ 中的左陪集构成的集合4。考虑群 $A$ 作用在集合 $G/B$ 上,方式是左伴随作用

   据定理 5

\begin{equation} \left\lvert G/B \right\rvert = \left\lvert \operatorname {Fix}_A(G/B) \right\rvert \mod p~. \end{equation}

   由 Sylow 子群的定义,知 $ \left\lvert G/B \right\rvert =m$。故 $m \left\lvert \operatorname {Fix}_A(G/B) \right\rvert \mod p$,意味着 $ \left\lvert \operatorname {Fix}_A(G/B) \right\rvert \neq 0$,即存在不动点$gB\in G/B$。

   因此 $agB=gB$ 对所有 $a\in A$ 成立,即 $ag\in gB$,即 $A\subseteq gBg^{-1}$。又因为 $ \left\lvert A \right\rvert =p= \left\lvert B \right\rvert = \left\lvert gBg^{-1} \right\rvert $,故 $A=gBg^{-1}$。

   证毕

定理 3 Sylow 第三定理

   取有限群$G$,设 $n_p$ 是它的所有 Sylow $p$-子群的数目。令 $ \left\lvert G \right\rvert =p^km$,其中 $p\not\mid m$。

   那么 $n_p\equiv 1\mod p$,或者说 $p\mid n_p-1$;且 $n_p\mid m$。

   证明

   如果 $ \operatorname {Syl}_p(G)$ 只有一个元素,即 $n_p=1$,那定理自然成立。下设 $n_p>1$。

   证明第一个性质 $n_p\equiv 1\mod p$:

   任取 $P\in \operatorname {Syl}_p(G)$,令 $P$ 在 $ \operatorname {Syl}_p(G)$ 上有共轭作用。这个作用的合理性由定理 2 保证。

   由于 $n_p>1$,故可取 $Q\in \operatorname {Syl}_p(G)-\{P\}$。由定理 2 ,存在 $g\in G$ 使得 $Q=gPg^{-1}$。

   $P\neq Q$ 且 $ \left\lvert P \right\rvert = \left\lvert Q \right\rvert =p^k$ $\implies$ 存在 $h\in P-Q$ 使得 $ghg^{-1}\in Q-P$。于是 $g^{-1}(ghg^{-1})g=h\in P$,这意味着 $g^{-1}Qg\neq Q$。因此,$ \operatorname {Fix}_P( \operatorname {Syl}_p(G))$ 只有 $P$ 这一个元素,从而 $ \left\lvert \operatorname {Fix}_P( \operatorname {Syl}_p(G)) \right\rvert =1$。

   由定理 5 ,注意 $ \left\lvert P \right\rvert =p^k$,

\begin{equation} \begin{aligned} n_p= \left\lvert \operatorname {Syl}_p(G) \right\rvert \equiv \left\lvert \operatorname {Fix}_P( \operatorname {Syl}_p(G)) \right\rvert \mod p\equiv 1\mod p~. \end{aligned} \end{equation}

   证明第二个性质 $n_p\mid m$:

   考虑整个 $G$ 按共轭作用,作用在 $ \operatorname {Syl}_p(G)$ 上。由定理 2 ,这是一个可递作用,因此只有一个轨道,因此任意元素的轨道中元素数量是 $n_p$。由推论 1 ,$n_p$ 等于 $ \operatorname {Syl}_p(G)$ 中任意元素的迷向子群指数。又由拉格朗日定理定理 3 )可知子群指数整除群的阶,即 $n_p\mid p^km$。

   由式 4 ,$n_p\not \mid p^k$,从而 $n_p\mid m$。

   证毕

   定理 3 中第二个性质的证明过程中也蕴含了这一关系:$n_p=[G: \operatorname {Syl}_p(G)]$(子群的指数,见定义 3 )。

定理 4 

   取有限群$G$,令 $P$ 是 $G$ 的一个 Sylow $p$-子群,$N(P)$ 是 $P$ 的正规化子(定义 2 )。

   则对 $G$ 的子群 $H\supseteq N(P)$,必有 $N(H)=H$。

   证明

   显然 $H\subseteq N(H)$。下证 $N(H)\subseteq H$。

   由于 $P\subseteq N(P)\subseteq H$,由定义显然可知,$P$ 也是 $H$ 的一个 Sylow $p$-子群。

   任取 $x\in N(H)$,则 $xPx^{-1}\subseteq H$ 也是 $H$ 的一个 Sylow $p$-子群。于是由定理 2 ,存在 $h\in H$ 使得 $xPx^{-1}=hPh^{-1}$。

   于是 $h^{-1}xPx^{-1}h=P$,这意味着 $h^{-1}x\in N(P)\subseteq H$。故 $x\in H$,即 $N(H)\subseteq H$。

   证毕


1. ^ L. Sylow, Théorèmes sur les groupes de substitutions, Mathematische Annalen 5 (1872), 584–594. 对此文的英文翻译见 Theorems on groups of substitutions
2. ^ 注意,这里说的阶数逻辑上有跳步。比如说,在 $G/H_g$ 中找到了一个 $h$,其阶数为 $sp$,那这只能说明 $h^{sp}\in H_g$。不过由于 $h^{sp}$ 本身也是有限阶的,因此 $h$ 在 $G$ 中的阶数也确实是 $p$ 的倍数。
3. ^ $C_G(x)$ 即 $x$ 的中心化子,或者说 $x$ 在伴随作用下的迷向子群。
4. ^ 不是商群,因为不能保证 $B\vartriangleleft G$。


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