数学结构

                     

贡献者: Connection

1. 引言

   一堆砖块,如果只是散乱的堆在一起,意义并不是很大。

   然而,如果根据设计图,将砖块堆砌起来,让它们之间拥有各种关系(比如这块砖隶属于地基区域,为其它砖奠基),这些砖块就可能成为一个有组织的有机整体,一个具有功能与价值的建筑物。

   在数学上,也是一样的道理。集合内的零散元素往往缺乏研究价值,需要我们赋予某种 “结构”。

   法国 Bourbaki 学派将结构作为数学的根源,并确定了三个母体结构:代数结构、拓扑结构和序结构。

2. 基本释义——引言

   在汉语中,结构一词,可以指组成体系的各部分的组织与搭配方式,也可以指拥有这种各部分组织与搭配方式的体系。

   而数学上的结构也有类似的含义。

   事实上,在不同的数学领域,“结构” 一词往往有着形式上不同,但内涵上类似的定义。比如,抽象代数语境下的"结构"——一些群、环之类的代数结构,与泛函分析语境下的"结构",乃至于泛代数、数理逻辑与模型论中的” 结构”,不一定在形式上具有相同的定义,但其内涵往往是类似的。

   在数学教科书中,往往不会直接给 “结构” 的概念一个形式定义,而是通过大量的例子让读者自己体会。例如,” 我们说一个集合 S 具有度量空间的结构,如果.....”、“一个σ代数是指一个子集族,且满足.......”。

   这个词条主要是从结构的汉语意思出发,让读者对” 结构 “的概念有一个感觉。

3. 基本释义

   对全体实数的集合,我们往往默认实数间的加法与乘法(减法与除法作为它们的逆运算自然诱导出),但这些运算并不是理所当然的,我们可以考虑一个没有任何运算的纯数集。

   此时,集合内除了散乱的数,没有别的东西。显然,这样的集合也没有太大的意义。这种情况下,我们无法问两个数加起来等于什么,无法问两个数之间的距离,因为这些东西都尚无定义。

   若对该集合赋予一些满足公理(如加法与乘法的交换律、结合律、分配律等)的运算,这些运算描述了数集中元素的关系,我们可以称赋予了这些运算的集合为一个代数结构。代数结构的例子有群、环、域等。

   有时可能我们也会遇到一种说法:我们为集合赋予了一种 “代数结构”,或者集合所具有的” 代数结构 “。此时的” 代数结构” 与前文中 “给定运算的集合” 之释义显然不一样。在这种情况下,我们所说的 “代数结构”,往往指赋予给集合的集合内元素的关系。

   在实践中,数学结构的不同具体含义往往可以通过语境与上下文判断。

   又比如,对于一个集合 A={纽约,莫斯科,巴黎},我们可以为该集合附加一个满足相应条件(比如必须大于 0)的 “度量”,或者说距离函数,将任意两个城市组成的二元组,例如(纽约,莫斯科)作为自变量,以一个数作为因变量。我们可以将这个数当作是这两个城市间的距离。换言之,度量(结构)使得我们可以询问任意两个元素间的距离。此时,集合 A 也就成为了一个(数学)结构,即度量空间。

   最一般地说,” 结构” 就是满足一定公理的、附加给集合的一些数学对象或特征(例如运算、关系、拓扑、度量等),或者指附加了满足前述条件的数学对象或特征的集合,。而所附加的数学对象或特征往往给集合赋予以特殊的意义与研究价值。

   比方说,给一个数集

\begin{equation} A = \{ 0,1,2,3 \}~. \end{equation}

   定义一个新运算,称作 “自定义映射”:d(x,y),其中 x,y∈A。

\begin{equation} d:A \times A \to N~. \end{equation}

   此处×指笛卡尔积,N 指自然数集。

   假设 d 的具体计算定义为:d(第一个元素,任何元素)=第一个元素。 此时,我们可以认为集合 A 与结构(此处取 “附加给集合的数学对象” 的释义)d 构成了一个 “自定义空间”(A,d)。

   在这个意义下,我们可以说,一个自定义空间是一个二元组(S,d),其中 S 是一个集合,而 d 是满足上述条件的一个二元运算。更进一步地说,二元运算也可以被解释为用元素的有序对下定义(可见函数的” 关系” 定义)。

   一般而言,集合+(数学)结构=空间。常见的例子有线性空间、线性赋范空间、内积空间、n 维欧几里得空间、希尔伯特空间、拓扑空间等。

4. 常见分类

   我们往往可以看到一些代数结构(Algebraic Structure),比如交换代数、结合代数、外代数、李代数等。

   也可能会看见一些 “几何结构”(Geometric Structure),比如 n 维欧几里得空间等。

   代数结构常指被赋予关系与运算的集合,由这些关系与运算所能得到的结果,往往也就构成了一个 “代数”,此时 “代数” 一词是作为结构而存在的(如上文的李代数)。

   几何结构,最广泛地说,可以被视为定义了一些集合子集的分类,以及它们之间运算的规则。可选地,我们可以将一个集合 S 上的几何结构 G 看作满足(确定性质的)S 的幂集的一个或多个子集。

   举例来说,欧几里得的平面几何,平面是一个点集,点、线、平面图形等都是平面的子集,它们自身也是点集。两点之间只有一连线之类的规则,定义了它们之间的关系与运算。

   需要注意的是,这两种结构并不是泾渭分明的,例如,对于一个平面,我们可以将其视为一个欧几里得的几何结构,也可以将其视为一个解析几何的代数结构。

5. 举例说明

   对一个实数三元组的集合

\begin{equation} \{(x,y,z)|x,y,z \in R \}~, \end{equation}
作为
\begin{equation} R \times R \times R~. \end{equation}
(其中×是笛卡尔积)

   即

\begin{equation} R^3~. \end{equation}
可以给其附加一个线性结构,一个欧式内积(结构),由内积诱导出度量(结构)与范数(结构),使得其成为一个实数域 R 上的 3 维欧几里得空间。

   又例如,对于一个(实)拓扑流形,赋予其 $C^k$ 类微分结构,使其成为一个 $C^k$ 类(实)微分流形。

6. 数学结构间的映射(1)——同构——引言

   本科阶段的数学基本都可以建立在集合论的基础之上,对于它们而言,集合与映射几乎就是最为重要的概念,赋予集合的结构,往往也就是一个映射(如内积,是一个双线性形式)。

   当我们有了数学结构,换言之,有了集合,我们很自然地就会去考虑集合,或者说数学结构之间的映射。

   我们先来考虑同构映射,它简称为同构(Isomorphism)。

   【同构 isomorphism 的词源是希腊字 isos-(意为 “相同”)和-morph(意为"形状")】

   假设你是一个程序员,你与老板之间存在着一个关系,即他发给你工资。 你无疑在全体程序员以及老板的集合 P 中。

   接着我们构造一个映射 f,把程序员集合中的元素映射到公务员集合(加上过国家财务机关)中的元素,要求这个映射是一一对应的,即——每个程序员只能被映射到一个公务员,且所有公务员都要被映射到。

   此时,我们称 f 是一个双射。

   假设老板被映射到国家财务机关,那么在映射之前,你与老板存在着一个 “他发给你工资” 的关系,在映射之后,你与老板的像——国家财务机关,依然存在着一个 “他发给你工资” 的关系;那么,这个关系——或者说这个结构,在这个映射中是被保持的。 此时,我们称 f 是一个同构,即保持结构的双射。

   假设你去买车,看到一辆车 C,我们来考虑另一辆新造的车 D。 假设有一个同构 f 将 C 映射到 D。(我们此时可将映射 f 视为一个施加给 C 的变换,它将 C 车变换为 D 车)

   如果 f 不是双射,C 的零件就无法与 D 的零件一一对应,这样以来,假如 C 的两个零件之间有一个关系,结果映射到 D 后,只有其中一个零件被映射过去了,此时又何谈保持这两个零件之间的关系呢。 如果 f 不保持结构,仅仅在两辆车的零件之间建立一一对应,那么 C 也许一切正常,然而 D 的发动机可能接到了车尾,根本发动不起来,甚至更严重的,完全丧失了 C 的结构,导致 D 只是一堆散乱的零件——你怎么开,用气功么。

7. 数学结构间的映射(2)——同构

   粗略地说,同构意味着"在所有本质的方面都相同"。

   我们主要讨论代数结构。

   对于一个代数上的数学对象,哪些方面算是本质的?那就是指代数结构(注意此处的释义)。什么是绝对非本质的呢?那就是具有这种结构的对象自身的本性。

   例如,一个群可能是由复数组成,而另一个群可能来自整数 mod 一个素数 p,第三个群则可能是几何图形的旋转组成的,而这三个群却可能是同构的。

   两个数学结构可能有非常不同的组成成分,然而却在更深的意义下是 “相同的”。

   这个思想是数学最重要的思想之一。

   若两个数学对象 A,B 间存在一个同构映射,我们可以说 A同构于B,这往往意味着,我们可以将 A 与 B 当作同一件事物。

   例如,将切向量与满足莱布尼兹律的线性映射视为同一,这极大地方便了将微积分推广至一般流形上。

   考虑两个线性空间 V 和 W。

   从 V 到 W 的同构映射,就是一个线性映射,或者,如果是从 V 映射到 V,也可以叫做线性变换(将 V 中的元素 E 变换为另一个元素 F)。是的,线性代数里的核心概念之一——线性映射,就是两个代数结构之间同构映射的一个例子。它保持了线性组合的结构(几何上将直线映射为直线,平面映射为平面),即如果 V 中的几个向量 a、b、c 有一个线性组合的关系——2a+3b-c,在映射后变成 f(2a+3b-c)=2f(a)+3f(b)-f(c)。

   f(a)、f(b)、f(c)是 a,b,c 被映射之后的像,。显然,a,b,c 被映射后,其线性组合的形式依然不变,依旧是 2d+3e-g 的形式[其中 d、e、g 是代数项,代表任何向量,例如 f(a)、f(b)],而不是别的,例如 114d+514e+3.1415g。


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