谱半径

             

预备知识 有界算子的预解式

定义 1 谱半径

   设 $X$ 是复巴拿赫空间, $T:X\to X$ 是有界线性算子. 数 $$ r(T):=\sup_{\lambda\in\sigma(T)}|\lambda| $$ 称为算子 $T$ 的谱半径 (spectral radius).

   对预解式 $(z-T)^{-1}$ 进行冯诺依曼级数展开, 可见谱集包含于圆 $|z|\leq\|T\|$ 内. 所以有 $r(T)\leq\|T\|$. 更精确的定理如下:

定理 1 

   极限 $\lim_{n\to\infty}\|T^n\|^{1/n}$ 存在, 并且等于 $T$ 的谱半径 $r(T)$.

   证明.

   谱半径的重要意义由下述定理刻画:

定理 2 

   当 $|z| > r(T)$ 时, 冯诺依曼级数 $$ \frac{1}{z}\sum_{n=0}^\infty\frac{T^n}{z^n} $$ 按照算子范数收敛到 $(z-T)^{-1}$. 当 $|z| < r(T)$ 时, 此冯诺依曼级数按照算子范数是发散的.

   可见, 谱半径的意义正如同数值幂级数的收敛半径, 而它的计算方法正如同柯西-阿达玛公式所揭示的那样.

   不论在 $X$ 上取什么样的等价范数, 都不影响上面算子的可逆性和连续性, 自然也不影响它的谱性质. 由于谱半径的定义只用到了算子 $T$ 的谱的性质, 所以谱半径是与 $X$ 上的范数选取无关的.

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