谱半径

贡献者： DTSIo

预备知识　有界算子的预解式

定义 1　谱半径

　　设 $X$ 是复巴拿赫空间， $T : X \to X$ 是有界线性算子。数 $r (T) := sup_{λ \in σ (T)} | λ |$ 称为算子 $T$ 的谱半径（spectral radius）.

　　对预解式 $(z - T)^{- 1}$ 进行冯诺依曼级数展开, 可见谱集包含于圆 $| z | \leq ‖ T ‖$ 内。所以有 $r (T) \leq ‖ T ‖$ . 更精确的定理如下：

定理 1　

　　极限 $lim_{n \to \infty} ‖ T^{n} ‖^{1 / n}$ 存在，并且等于 $T$ 的谱半径 $r (T)$ .

　　 证明。

　　谱半径的重要意义由下述定理刻画：

定理 2　

　　当 $| z | > r (T)$ 时，冯诺依曼级数 $\frac{1}{z} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{T^{n}}{z^{n}},$ 按照算子范数收敛到 $(z - T)^{- 1}$ . 当 $| z | < r (T)$ 时，此冯诺依曼级数按照算子范数是发散的。

　　可见，谱半径的意义正如同数值幂级数的收敛半径，而它的计算方法正如同柯西-阿达玛公式所揭示的那样。

　　不论在 $X$ 上取什么样的等价范数，都不影响上面算子的可逆性和连续性，自然也不影响它的谱性质。由于谱半径的定义只用到了算子 $T$ 的谱的性质，所以谱半径是与 $X$ 上的范数选取无关的。

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谱半径

定义 1 谱半径

定理 1

定理 2

定义 1　谱半径

定理 1　

定理 2　