等效原理（综述）

                     

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　　 （本文根据 CC-BY-SA 协议转载自原搜狗科学百科对英文维基百科的翻译）

　　 在广义相对论中，等效原理是引力和惯性质量的等效，阿尔伯特·爱因斯坦的解释是，当站在一个大质量物体（如地球）上时，局部经历的引力 “力” 与观察者在非惯性（加速）参照系中经历的拟力相同。

1. 爱因斯坦关于惯性质量和引力质量相等的陈述

　　 稍加思考就会发现惯性质量和重力质量相等的定律相当于引力场赋予物体的加速度与物体的性质无关的论断。对于牛顿在重力场中的运动方程，完整地写出来是:

\begin{equation} (\text{惯性质量}) \cdot (\text{加速度}) = (\text{引力场的强度}) \cdot (\text{引力质量})~ \end{equation}

　　 只有当惯性质量和重力质量在数值上相等时，加速度才与物体的性质无关。

2. 引力理论的发展

图
图 1：在 1971 年的阿波罗 15 号任务中，宇航员大卫·斯科特证明了伽利略是对的：月球上所有受重力作用的物体的加速度都是一样的，即使是锤子和羽毛。

　　 类似等效原理的东西出现在 17 世纪初，当时 伽利略 表达 实验盟友 加速 的 测试质量 由于 引力 与数量无关 块 正在加速。

　　 开普勒利用伽利略的发现，通过准确描述如果月球在其轨道上停止并向地球坠落会发生什么，展示了等效原理的知识。这可以在不知道重力是否或以何种方式随距离减小的情况下推导出来，但需要假设重力和惯性相等。

　　 如果两块石头被放置在世界上的任何一个靠近彼此的地方，并且放在第三个同源体的影响范围之外，这些石头就会像两个磁针一样，在中间点聚集在一起，每块石头以与另一块石头的相对质量成比例的空间相互靠近。如果月球和地球没有被它们的万有引力力或其他类似力保持在它们的轨道上，地球将会以它们距离的 54 分之一登上月球，月球将会通过另外 46 分之一落向地球，它们将会在那里相遇，然而，前提是假设两者的物质密度相同。

　　 ——— Kepler，“新星天文学”，1609 年

　　 1/54 的比值是开普勒根据月球和地球的直径对它们质量比的估计。他陈述的准确性可以通过牛顿惯性定律 $F=ma$ 和伽利略重力观测即距离 $D=1/2at^2$ 来推断，将质量与加速度设置为相等是等效原理。$D=(1/2) at^2$。注意到每个质量的碰撞时间是相同的，开普勒的陈述是：$D_moon/Dearth = M_Earth/M_moon$，既不知道碰撞时间，也不知道重力加速度是否是距离的函数。

　　 牛顿的引力理论简化并形式化了伽利略和开普勒的思想，他认识到开普勒的 “万有引力力或其他超越重力和惯性的等效力” 是不需要的，从开普勒的行星定律就可推导出重力是如何随距离减小的。

　　 阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein）在 1907 年恰当地引入了等效原理，当时他观察到物体以 1g 的速度向地球中心加速 $g = 9.81 m/s^2$ 是地球表面重力加速度的标准参考值)相当于惯性运动物体的加速度，在自由空间的火箭上将观察到该物体以 1g 的速度加速。爱因斯坦这样说：

　　 我们……假设重力场和参考系统的相应加速度完全物理等价。

　　 ——— Einstein，1907 年

　　 也就是说，在地球表面就相当于在一艘由引擎加速的宇宙飞船里（远离任何重力源）。地球表面上加速度相等的方向或矢量是 “向上” 的，或者直接与行星的中心相对，而宇宙飞船中的加速度矢量直接与推进器喷射的质量相反。根据这个原理，爱因斯坦推断自由落体是惯性运动。自由落体中的物体不会经历向下加速（例如朝向地球或其他巨大物体），而是失重和无加速。在惯性系中，参考物体（以及光子或光）遵循牛顿第一定律，以匀速直线运动。类似地，在弯曲的时空中，惯性粒子或光脉冲的世界线会尽可能的笔直（在空间和时间上）。[1] 这样的世界线被称为测地线，从惯性系的角度来看它是一条直线。这就是为什么加速度计在自由落体时没有记录任何加速度；因为没有任何加速度。

　　 举个例子：一个惯性物体沿着测地线在太空中运动，可以被捕获到一个绕着巨大引力质量的轨道中，而不需要经历加速度。这个可能性是存在的，因为时空在接近一个大的引力质量的地方是完全弯曲的。在这种情况下，测地线围绕质心向内弯曲，自由浮动（失重）惯性体将简单地跟随这些弯曲的测地线进入椭圆轨道。机载加速度计永远不会记录任何加速度。

　　 相比之下，在牛顿力学中，重力被认为是一种力。这种力把有质量的物体拉向任何大质量物体的中心。在地球表面，重力被地球表面的机械（物理）阻力抵消。所以在牛顿物理学中，一个人在一个（非旋转的）大质量物体的表面上休息是在惯性参照系中。这些考虑暗示了爱因斯坦在 1911 年精确阐述的关于等效原理的以下推论：

　　 每当观察者观察到作用在所有物体上的力与每个物体的惯性质量成正比时，该观察者就处于加速参照系中。

　　 爱因斯坦也提到了两个参照系，K 和 K’。K 是一个均匀的引力场，而 K’没有引力场，但可以被均匀加速，使得两个参照系中的物体受到相同的力：

　　 如果我们假设系统 K 和 K’在物理上完全相等，也就是说，如果我们假设系统 K 是在一个没有引力场的空间里并且被均匀加速的，我们就能对这个经验定律做出非常令人满意的解释。这种精确的物理等价的假设使得我们不可能讨论参照系的绝对加速度，就像相对论禁止我们谈论系统的绝对速度一样；这使得引力场中所有物体的平等坠落看起来似乎是理所当然的事。

　　 ——— Einstein，1911 年

　　 这一观察是最终形成广义相对论的开始。爱因斯坦建议把它提升到一般原理的地位，他在构建相对论时称之为 “等效原理”:

　　 只要我们把自己限制在牛顿力学占主导地位的纯机械过程中，我们就能确定系统 K 和 K’的等价性。但是我们的这种观点不会有任何更深层次的意义，除非系统 K 和 K’在所有物理过程中是等价的，也就是说，除非关于 K 与 K’的自然法则完全一致。通过假设这是真的，我们得出了一个有很大的启发性意义的原则。因为通过对相对于具有均匀加速度的参考系统发生的过程的理论考虑，我们获得了关于均匀重力场中过程的重要的信息。

　　 ——— Einstein，1911 年

　　 爱因斯坦将等效原理与狭义相对论结合起来（假设），预测了在引力势中时钟以不同的速率运行，在他提出弯曲时空的概念之前，甚至预测光线会在引力场中弯曲。

　　 所以爱因斯坦所描述的原始等效原理得出结论，自由落体和惯性运动在物理上是等效的。等价原则的这种形式可以表述如下：在一个无窗的房间里，观察者无法区分是在地球表面上还是在有 1g 加速的深空宇宙飞船里。严格来说这并不是完全正确的，因为巨大的物体会产生潮汐效应（由引力场的强度和方向的变化引起），而这种效应在深空加速宇宙飞船中是不存在的。因此，房间应该足够小，小到可以忽略潮汐效应。

　　 虽然等效原理指导了广义相对论的发展，但它不是相对论的基本原理，而是该理论几何性质的简单结果。在广义相对论中，自由落体遵循时空测地线，而我们所感知的重力是我们无法遵循时空测地线的结果，因为物质的机械阻力阻止了我们这样做。

　　 由于爱因斯坦发展了广义相对论，就有必要形成一个框架体系来检验这一理论与其他可能的与狭义相对论相兼容的引力理论。罗伯特·迪克提出了两个新的原则，作为他测试广义相对论理论的一部分，即所谓的爱因斯坦等效原理和强等效原理，每个原理都以弱等效原理为出发点。它们只是在是否适用于重力实验方面有所不同。

　　 另一个需要澄清的是，等效原理假设恒定加速度为 1g，而不考虑 1g 的产生机理。如果我们的确要考虑它的机理，那么我们必须假设前面提到的无窗房间有一个固定的质量。在 1g 加速意味着被施加了一个恒定的力，该力= $m*g$，其中 m 是无窗房间及其内装物（包括观察者）的质量。现在，如果观察者在房间内跳跃，那么自由地躺在地板上的物体将会瞬间减轻重量，因为由于观察者为了跳跃而向后推地板，加速度将会瞬间降低。当观察者在空中时，物体会增加重量，因为由此产生的无窗房间减少的质量会导致更大的加速度；当观察者落地并再次推地板时，物体会再次减轻种量；最终，物体会恢复到最初的重量。为了使这些所有的效应与我们在一颗有 1g 重力的行星上测量的效果相等，我们必须假设无窗房间的质量与该行星相同。此外，没有窗户的房间不能引起自身重力，否则情况会进一步改变。如果我们希望实验或多或少精确地证明 1g 重力和 1g 加速度的等效性，这些显然都是技术性且实用的。

3. 现代用法

　　 等效原理目前有三种形式:：弱等效原理（伽利略）、爱因斯坦等效原理和强等效原理。

3.1 弱等效原理

　　 弱等效原理，也称为自由落体的普遍性或伽利略等效原理，并且可以用许多方式来表述。强等效原理包括具有重力结合能的天体[2]（例如，1.74 太阳质量脉冲星 PSR J1903+0327，其分离质量的 15.3% 不作为重力结合能）。[3]弱等效原理假设落体仅受非重力约束。不管怎样：

　　 重力场中点质量的运动轨迹只取决于它的初始位置和速度，与它的组成和结构无关。 在给定的重力场中，在相同时空点的所有测试粒子将经历相同的加速度，与它们的性质和静止质量无关。[4] 所有质量自由落体的局部中心（在真空中）沿着相同（平行位移，相同速度）的最小作用轨迹，与所有可观察的性质无关。

　　 浸没在重力场中的物体的真空世界线与所有可观察到的性质无关。 弯曲时空中运动的局部效应（引力）与平面时空中被加速观察者的局部效应无一例外地不可区分。 所有物体的质量（用天平测量）和重量（用天平测量）的局部比率相同（牛顿《自然哲学数学原理》，1687 年的开篇）。

　　 局部性消除了源自有限尺寸物理体上径向发散重力场（例如地球）产生的可测量潮汐力。“下降” 等价原理包含伽利略、牛顿和爱因斯坦的概念化。等效原理不否认由旋转引力质量（惯性系拖曳）引起的可测量效应的存在，也不否认非本地观察者对光偏转和引力时间延迟的测量。

　　 主动质量、被动质量和惯性质量

　　 根据主动和被动重力质量的定义，作用在 $M_1$ 由于 $M_0$ 的引力场是：

\begin{equation} F_1 = \frac{M_0^{\text{act}} M_1^{\text{pass}}}{r^2}~ \end{equation}
同样，任意质量的第二个物体上的力 $_2$ 由于质量的引力场 $_0$ 是：
\begin{equation} F_2 = \frac{M_0^{\text{act}} M_2^{\text{pass}}}{r^2}~ \end{equation}
根据惯性质量的定义：
\begin{equation} F = m^{\text{inert}} a~ \end{equation}
如果 $m_1$ 和 $m_2$ 距离相同 $r$ 从 $m_0$ 然后，根据弱等效原理，它们以相同的速率下降（即它们的加速度相同）
\begin{equation} a_1 = \frac{F_1}{m_1^{\text{inert}}} = a_2 = \frac{F_2}{m_2^{\text{inert}}}~ \end{equation}
因此：
\begin{equation} \frac{M_0^{\text{act}} M_1^{\text{pass}}}{r^2 m_1^{\text{inert}}} = \frac{M_0^{\text{act}} M_2^{\text{pass}}}{r^2 m_2^{\text{inert}}}~ \end{equation}
因此：
\begin{equation} \frac{M_1^{\text{pass}}}{m_1^{\text{inert}}} = \frac{M_2^{\text{pass}}}{m_2^{\text{inert}}}~ \end{equation}
换句话说，对于所有物体，被动引力质量必须与惯性质量成比例。

　　 此外，通过牛顿第三运动定律以下内容：

\begin{equation} F_1 = \frac{M_0^{\text{act}} M_1^{\text{pass}}}{r^2}~ \end{equation}

　　 必须等于和相反

\begin{equation} F_0 = \frac{M_1^{\text{act}} M_0^{\text{pass}}}{r^2}~ \end{equation}

　　 由此可见：

\begin{equation} \frac{M_0^{\text{act}}}{M_0^{\text{pass}}} = \frac{M_1^{\text{act}}}{M_1^{\text{pass}}}~ \end{equation}

　　 换句话说，对于所有物体，被动引力质量必须与主动引力质量成比例。

　　 无量纲尼涅参数是 $\eta(A, B)$ 重力和惯性质量之比除以两组测试质量 “A” 和 “b” 的平均值的差值

\begin{equation} \eta(A, B) = 2 \left( \frac{\left(\frac{m_g}{m_i}\right)_A - \left(\frac{m_g}{m_i}\right)_B}{\left(\frac{m_g}{m_i}\right)_A + \left(\frac{m_g}{m_i}\right)_B} \right)~ \end{equation}

　　 弱等效原理的测试

　　 弱等效原理的测试是验证重力质量和惯性质量等效的测试。一个显而易见的测试是放下不同的物体，最好是在真空环境中，例如不来梅瀑布下降塔。

表1：
ResearcherYear Method Result
John Philoponus 6th century Said that by observation, two balls of very different weights will fall at nearly the same speed no detectable difference
Simon Stevin[5] ~1586 Dropped lead balls of different masses off the Delft churchtower no detectable difference
Galileo Galilei ~1610 Rolling balls of varying weight down inclined planes to slow the speed so that it was measurable no detectable difference
Isaac Newton ~1680 Measure the period of pendulums of different mass but identical length difference is less than 1 part in $ 10^{3}$
Friedrich Wilhelm Bessel 1832 Measure the period of pendulums of different mass but identical length no measurable difference
Loránd Eötvös 1908 Measure the torsion on a wire, suspending a balance beam, between two nearly identical masses under the acceleration of gravity and the rotation of the Earth difference is $10\pm 2$ part in $10^9$ $(H_2O/C_u)$[6]
Roll, Krotkov and Dicke 1964 Torsion balance experiment, dropping aluminum and gold test masses $\left| \eta (\text{Al}, \text{Au}) \right| = (1.3 \pm 1.0) \times 10^{-11}$[7]
David Scott 1971 Dropped a falcon feather and a hammer at the same time on the Moon no detectable difference (not a rigorous experiment, but very dramatic being the first lunar one[8])
Braginsky and Panov 1971 Torsion balance, aluminum and platinum test masses, measuring acceleration towards the Sun difference is less than 1 part in $ 10^{12}$
Eöt-Wash group 1987– Torsion balance, measuring acceleration of different masses towards the Earth, Sun and galactic center, using several different kinds of masses $\eta(\text{Earth, Be-Ti}) = (0.3 \pm 1.8) \times 10^{-13}$

　　 请参见:[10]

表2：
YearInvestigator Sensitivity Method
500? Philoponus[11] "small" Drop tower
1585 Stevin[12] $5 \times 10^{-2}$ Drop tower
1590? Galileo $2 \times 10^{-2}$ Pendulum, drop tower
1686 Newton $10^{-3}$ Pendulum
1832 Bessel $2 \times 10^{-5}$ Pendulum
1908 (1922) Eötvös $2 \times 10^{-9}$ Torsion balance
1910 Southerns $5 \times 10^{-6}$ Torsion balance
1918 Zeeman $3 \times 10^{-8}$ Torsion balance
1923 Potter $3 \times 10^{-6}$ Pendulum
1935 Renner $2 \times 10^{-9}$ Torsion balance
1964 Dicke, Roll, Krotkov $3 \times 10^{-11}$ Torsion balance
1972 Braginsky, Panov $10^{-12}$ Torsion balance
1976 Shapiro, et al. $10^{-12}$ Lunar laser ranging
1981 Keiser, Faller $4 \times 10^{-11}$ Fluid support
1987 Niebauer, et al.[24] $ 10^{-10}$ Drop tower
1989 Stubbs, et al.[25] $ 10^{-11}$ Torsion balance
1990 Adelberger, Eric G.; et al.[26] $ 10^{-12}$ Torsion balance
1999Baessler, et al.[27]$ 5 \times 10^{-14}$ Torsion balance
2017 MICROSCOPE[28] $ 10^{-15}$ Earth orbit

　　 实验仍在华盛顿大学中进行，这限制了物体向地球、太阳和地球的不同加速度暗物质在银心。未来的卫星实验[29] – 等效原理的卫星测试、伽利略·伽利雷和显微镜（MicroSoftàtranée Compense pour l ' observation du Principe d 'équi valence)）– 将测试空间中的弱等效原理，达到更高的精度。

　　 随着反物质，特别是反氢的首次成功生产，一种测试弱等效原理的新方法被提出。比较物质和反物质引力行为的实验目前正在开发中。[30]

　　 可能导致重力量子理论诸如弦理论和环形量子重力的理论的提出，预测了其与弱等效原理相违背，因为它们包含许多长康普顿波长的光标量场，这些光标量场应该产生第五种力和基本常数的变化。启发式论点表明，这些违反等价原则的程度可能在 10−13 到 10−18 之间。[31] 目前设想的弱等效原理测试接近一定程度的灵敏度，未发现违规的后果和发现违规一样严重。在这个范围内没有发现违反等效原理的现象，这表明重力与其他力有着根本的不同，因此需要对当前试图将重力与其他自然力统一起来的努力进行重大的重新评估。另一方面，积极的发现将为统一提供一个主要的路标。[31]

3.2 爱因斯坦等效原理

　　 现在所谓的 “爱因斯坦等效原理” 指出弱等效原理成立，并且：[32]

　　 自由落体实验室进行的任何局部非重力实验的结果都与实验室的速度及其在时空中的位置无关。 这里的 “局部” 有一个非常特殊的含义：不仅实验不能从实验室外面看，而且与重力场、潮汐力的变化相比，它也必须很小，这样整个实验室都相当于自由落体。这也意味着除了重力场之外，没有与 “外部” 场的相互作用。

　　 相对论原理意味着局部实验的结果必须独立于装置的速度，因此这个原理最重要的结果是哥白尼的思想，即无量纲物理值，如精细结构常数和电子质子质量比，我们测量它们时，与空间和时间无关。许多物理学家认为，任何满足弱等效原理的洛伦兹不变理论也满足爱因斯坦等效原理。

　　 希夫猜想表明弱等价原理隐含着爱因斯坦等效原理，但尚未得到证明。尽管如此，这两个原理是用非常不同的实验来测试的。爱因斯坦等效原理因为没有公认的方法来区分引力实验和非引力实验而存在不精确的争议。（参见哈德利·和杜兰德）。[33] [34]

　　 爱因斯坦等效原理的检验

　　 除了弱等效原理的测试之外，爱因斯坦等效原理还可以通过寻找无量纲常数和质量比的变化来测试。目前对基本常数变化的最佳限制主要是通过研究自然发生的奥克罗自然核裂变反应堆来设定的，在那里，与我们今天观察到的类似的核反应已被证明发生在大约 20 亿年前的地下。这些反应对基本常数的值极其敏感。

表3：
常数年份 方法 分数变化限制
质子回旋磁因子 1976 天体物理学的 $ 10^{-1}$
弱相互作用常数 1976 奥克罗 $ 10^{-2}$
精细结构常数 1976 奥克罗 $ 10^{-7}$
电子质子质量比 2002 类星体 $ 10^{-4}$

　　 已经有许多来限制强相互作用常数的变化的有争议的尝试。有几个争议认为 “常数” 确实在宇宙尺度上有所不同。最著名的据报道是从遥远类星体的测量中检测到精细结构常数的变化（在 $ 10^{-5}$ 级），参见韦伯等人。[35] 其他研究人员对这些发现提出质疑。爱因斯坦等效原理的其他测试是重力红移实验，例如测试实验位置独立性的庞德-雷贝卡实验。

3.3 强等效原理

　　 强等效原理表明引力定律与速度和位置无关。特别是，

　　 小型试验物体的重力运动只取决于它在时空和速度上的初始位置，而不取决于它的构成。 自由落体实验室的任何局部实验（重力或非重力）的结果都与实验室的速度及其在时空中的位置无关。 第一部分是弱等效原理的一个版本，适用于对自身施加重力的物体，如恒星、行星、黑洞或卡文迪什实验。第二部分是爱因斯坦等效原理（与 “局部” 的定义相同），重申了重力实验和自引力物体。然而，自由下落的物体或实验室必须仍然很小，这样潮汐力才可以忽略不计（因此称为 “局部实验”）。

　　 这是等效原理的唯一形式，适用于具有实质的内部引力相互作用的自引力物体（如恒星）。它要求引力常数在宇宙的任何地方都是相同的，并且与第五种力不相容。它比爱因斯坦等效原理更具有限制性。

　　 强等效原理表明，重力本质上完全是几何性质的（也就是说，只有度量标准决定重力的影响），没有任何额外的场与之相关联。如果一个观察者测量一块空间是平坦的，那么强等效原理表明它绝对等价于宇宙中其他地方的任何一块平面空间。爱因斯坦的广义相对论（包括宇宙常数）被认为是唯一满足强等效原理的引力理论。许多替代理论，如布兰斯-迪克理论，只满足爱因斯坦等效原理。

　　 强等效原理的检验 强等效原理可以通过寻找牛顿引力常数 G 在宇宙生命周期中的变化或基本粒子质量的变化来检验。来自太阳系轨道和大爆炸核合成研究的许多独立约束条件表明，引力常数 G 的变化不能超过 10%。

　　 因此，强等效原理可以通过寻找第五种力（与广义相对论预测的重力定律的偏差）来检验。这些实验通常在实验室中寻找重力平方反比定律的失效（特别是 Yukawa 力或伯克霍夫定理的失效）。Et-Wash 小组进行了最精确的短距离测试。未来的卫星实验，SEE（卫星能量交换），将寻找太空中的第五种力量，来进一步限制违反强等效原理的行为。为了寻找诺德维特效应（Nordtvedt effect），人们设定了寻找更大范围力的限制。诺德维特效应是太阳系轨道的一种 “极化”，由重力自身能量以不同于正常物质的速度加速引起的。月球激光测距实验已经灵敏地测试了这种效应。其他测试包括研究太阳对远距离无线电源辐射的偏转，可以通过非常长的基线干涉测量法精确测量。另一个敏感的测试来自对卡西尼号飞船的信号频移的测量。总之，这些测量对布兰斯-迪克理论和其他重力替代理论有严格的限制。

　　 2014 年，天文学家发现了一个恒星三重系统，包括一个毫秒脉冲星 PSR J0337+1715 和围绕它运行的两个白矮星。该系统为他们提供了在强重力场中高精度测试强等效原理的机会。[36][37][38]

4. 挑战

　　 对等效原理的一个挑战是布兰斯-迪克理论。自我创造宇宙学是布兰斯-迪克理论的修正。弗雷德金有限自然假说是对等效原理的更激进的挑战，支持者更少。

　　 2010 年 8 月，新南威尔士大学、史文朋科技大学和剑桥大学的研究人员发表了一篇题为 “精细结构常数空间变化的证据” 的论文，其初步结论是，“定性地说，结果表明，这违反了爱因斯坦等效原理，并可以推断出一个非常大或无限的宇宙，其中我们的‘局部’哈勃体积代表很小的一部分。”[39]

　　 汉斯·奥哈尼安在他的书《爱因斯坦的错误》第 226-227 页中描述了几个歪曲爱因斯坦等效原理的情况。惯性加速效应类似于但不等同于重力效应。奥哈尼安引用了埃伦费斯特的同样观点。

5. 说明

　　 荷兰物理学家和弦理论学家埃里克·韦尔兰德基于全息宇宙的初始假设，对等效原理进行了独立的逻辑推导。在这种情况下，重力不会像目前认为的那样是一种真正的基本力，而是一种与熵相关的 “突现性质”。韦林德的熵引力理论显然自然地导致了正确观测到的暗能量的强度；宇宙学家迈克尔·特纳（他被认为创造了 “暗能量” 这个术语）称之为 “理论物理学历史上最大的尴尬”。[40] 这些想法还远未确定，仍然很有争议。

6. 实验

7. 笔记

  1. Macdonald, Alan (September 15, 2012). "General Relativity in a Nutshell" (PDF). Luther College. p. 32. Retrieved February 8, 2013.
  2. Wagner, Todd A.; Schlamminger, Stephan; Gundlach, Jens H.; Adelberger, Eric G.; "Torsion-balance tests of the weak equivalence principle", Classical and Quantum Gravity 29, 184002 (2012); https://arxiv.org/abs/1207.2442
  3. Champion, David J.; Ransom, Scott M.; Lazarus, Patrick; Camilo, Fernando; et al.; Science 320(5881), 1309 (2008), https://arxiv.org/abs/0805.2396
  4. Wesson, Paul S. (2006). Five-dimensional Physics. World Scientific. p. 82. ISBN 978-981-256-661-4.
  5. Devreese, Jozef T.; Vanden Berghe, Guido (2008). 'Magic Is No Magic': The Wonderful World of Simon Stevin. p. 154. ISBN 9781845643911.
  6. Eötvös, Loránd; Annalen der Physik (Leipzig) 68 11 (1922)
  7. Roll, Peter G.; Krotkov, Robert; Dicke, Robert H.; The equivalence of inertial and passive gravitational mass, Annals of Physics, Volume 26, Issue 3, 20 February 1964, pp. 442–517
  8. "Weak Equivalence Principle test on the moon".
  9. Schlamminger, Stephan; Choi, Ki-Young; Wagner, Todd A.; Gundlach, Jens H.; Adelberger, Eric G. (2008). "Test of the Equivalence Principle Using a Rotating Torsion Balance". Physical Review Letters. 100 (4): 041101. arXiv:0712.0607. Bibcode:2008PhRvL.100d1101S. doi:10.1103/PhysRevLett.100.041101. PMID 18352252.
  10. Ciufolini, Ignazio; Wheeler, John A.; "Gravitation and Inertia", Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1995, pp. 117–119
  11. Philoponus, John; "Corollaries on Place and Void", translated by David Furley, Ithaca, New York: Cornell University Press, 1987
  12. Stevin, Simon; De Beghinselen der Weeghconst ["Principles of the Art of Weighing"], Leyden, 1586; Dijksterhuis, Eduard J.; "The Principal Works of Simon Stevin", Amsterdam, 1955
  13. Galilei, Galileo; "Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze", Leida: Appresso gli Elsevirii, 1638; "Discourses and Mathematical Demonstrations Concerning Two New Sciences", Leiden: Elsevier Press, 1638
  14. Newton, Isaac; "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica" [Mathematical Principles of Natural Philosophy and his System of the World], translated by Andrew Motte, revised by Florian Cajori, Berkeley, California: University of California Press, 1934; Newton, Isaac; "The Principia: Mathematical Principles of Natural Philosophy", translated by I. Bernard Cohen and Anne Whitman, with the assistance of Julia Budenz, Berkeley, California: University of California Press, 1999
  15. Bessel, Friedrich W.; "Versuche Uber die Kraft, mit welcher die Erde Körper von verschiedner Beschaffenhelt anzieht", Annalen der Physik und Chemie, Berlin: J. Ch. Poggendorff, 25 401–408 (1832)
  16. Eötvös, Loránd; Mathematische and naturnissenschaftliche Berichte aus Ungarn 8 65 (1889); Annalen der Physik (Leipzig) 68 11 (1922); Physical Review D 61(2) 022001 (1999)
  17. Southerns, Leonard; "A Determination of the Ratio of Mass to Weight for a Radioactive Substance", Proceedings of the Royal Society of London, 84 325–344 (1910), doi:10.1098/rspa.1910.0078
  18. Zeeman, Pieter; "Some experiments on gravitation: The ratio of mass to weight for crystals and radioactive substances", Proceedings of the Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen, Amsterdam 20(4) 542–553 (1918)
  19. Potter, Harold H. (1923). "Some Experiments on the Proportionality of Mass and Weight". Proceedings of the Royal Society of London. 104 (728): 588–610. Bibcode:1923RSPSA.104..588P. doi:10.1098/rspa.1923.0130.
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