拉马努金和（数论）

贡献者： int256

预备知识 1　数论三角和与高斯和，数论求和记号

　　 这里探讨的是数论中的拉马努金和（Ramanujan's Sum），非级数等中的拉马努金求和。

定义 1　拉马努金和

　　 拉马努金和（Ramanujan's Sum） $c (m; n)$ 定义为：

\begin{matrix} (1) & c (m; n) = c_{n} (m) = \sum_{h = 1, gcd (h, n) = 1}^{n} e (\frac{m h}{n}) . \end{matrix}

　　类似 Gauss 和的，可以发现，只要 $h$ 取遍 $n$ 的一个缩系即可，记为 $h^{*} (n)$ 。

定理 1　

\begin{matrix} (2) & c_{n} (m) = \sum_{h^{*} (n)} e (m h / n) . \end{matrix}

预备知识 2　单位根与本原单位根（数论）

定理 2　

　　利用本原单位根，可以将 Ramanujan 和表示为

\begin{matrix} (3) & c_{q} (m) = \sum ρ^{m}, \end{matrix}

其中

ρ

取遍

q

的所有本原

q

次单位根。

　　利用缩系的定理 3 ，将可以得到 Ramanujan 和的另一性质。

定理 3　

　　若 $(q, q^{'}) = 1$ ，则 $c_{q q^{'}} (m) = c_{q} (m) c_{q^{'}} (m)$ 。

　　这是因为利用这性质将直接有

\begin{matrix} (4) & c_{q} (m) c_{q^{'}} (m) = \sum_{h^{*} (q), h^{' *} (q^{'})} e [m (\frac{h}{q} + \frac{h^{'}}{q^{'}})] = \sum_{h^{*} (q), h^{' *} (q^{'})} e (\frac{m (h q^{'} + h^{'} q)}{q q^{'}}) = c_{q q^{'}} (m) . \end{matrix}

证毕！

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。

拉马努金和（数论）

定义 1 拉马努金和

定理 1

定理 2

定理 3

定义 1　拉马努金和

定理 1　

定理 2　

定理 3　