RNS 超弦

贡献者： zhousiyi; addis

　　我们使用 Ramond-Neveu-Schwarz(RNS)形式来修改玻色弦理论以引入费米子。这个方法在世界面上具有超对称。随后我们会使用具有时空超对称的 Green-Schwarz 形式。当时空维度是 10 的时候，这两个方案是等价的。

　　首先我们考虑共形规范下的 Polyakov 作用量。

\begin{matrix} (1) & S = - \frac{T}{2} \int d^{2} σ \partial_{α} X^{μ} \partial^{α} X_{μ} . \end{matrix}

加入自由费米子

ψ

之后，作用量如下

\begin{matrix} (2) & S = - \frac{T}{2} \int d^{2} σ (\partial_{α} X^{μ} \partial^{α} X_{μ} - i {\bar{ψ}}^{μ} ρ^{α} \partial_{α} ψ_{μ}) . \end{matrix}

ρ^{α}

是世界面上的狄拉克矩阵。因为世界面是 1+1 维的，所以

ρ^{α}

也是 1+1 维的狄拉克矩阵。有两个这样的矩阵

\begin{matrix} (3) & ρ^{0} = (\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}), ρ^{1} = (\begin{matrix} 0 & i \\ i & 0 \end{matrix}) . \end{matrix}

1. Majorana 旋量

　　 $ψ^{μ} = ψ^{μ} (σ, τ)$ 是两分量 Majorana 旋量。我们把它记作

\begin{matrix} (4) & ψ = (\begin{matrix} ψ_{-} \\ ψ_{+} \end{matrix}) . \end{matrix}

在洛伦兹变换下，这些场按照矢量的规则变换。我们可以定义

{\bar{ψ}}^{μ}

\begin{matrix} (5) & {\bar{ψ}}^{μ} = (ψ^{†})^{μ} ρ^{0} . \end{matrix}

我们再定义一个

ρ^{3}

矩阵如下

\begin{matrix} (6) & ρ^{3} = ρ^{0} ρ^{1} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) . \end{matrix}

我们现在进行如下的定义

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} σ^{\pm} & = τ \pm σ, \\ \partial_{\pm} & = \frac{1}{2} (\partial_{τ} \pm \partial_{σ}), \\ \partial_{τ} & = \partial_{+} + \partial_{-}, \partial_{σ} = \partial_{+} - \partial_{-} . \end{aligned} \end{matrix}

经过计算，我们可以得出

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} S_{F} & = - \frac{T}{2} \int d^{2} σ (- i {\bar{ψ}}^{μ} ρ^{α} \partial_{α} ψ_{μ}) \\ = - \frac{T}{2} \int d^{2} σ (- 2 i) (ψ_{-} \cdot \partial_{+} ψ_{-} + ψ_{+} \cdot \partial_{-} ψ_{+}) \\ = i T \int d^{2} σ (ψ_{-} \cdot \partial_{+} ψ_{-} + ψ_{+} \cdot \partial_{-} ψ_{+}) . \end{aligned} \end{matrix}

从上面的作用量我们可以看出如下的运动方程

\begin{matrix} (9) & \partial_{+} ψ_{-}^{μ} = \partial_{-} ψ_{+}^{μ} = 0 . \end{matrix}

2. 世界面上的超对称变换

　　我们现在引入超对称变换的参数 $ϵ$ 。这个参数也是一个 Majorana 旋量

\begin{matrix} (10) & ϵ = (\begin{matrix} ϵ_{-} \\ ϵ_{+} \end{matrix}) . \end{matrix}

因为

ϵ

的组成部分被取成常数，这代表了世界面上的全局坐标。超对称变换有如下形式

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} δ X^{μ} & = \bar{ϵ} ψ^{μ}, \\ δ ψ^{μ} & = - i ρ^{α} \partial_{α} X^{μ} ϵ . \end{aligned} \end{matrix}

我们的作用量在上面的超对称变换下保持不变。这个变换让自由的玻色子变成费米子，也让自由的费米子变成玻色子。按照分量来写的话，式 11 的第一个式子可以化简成如下形式

\begin{matrix} (12) & δ X^{μ} = ϵ_{-} ψ_{-}^{μ} + ϵ_{+} ψ_{+}^{μ} . \end{matrix}

式 11 的第二个式子可以化简成如下形式

\begin{matrix} (13) & \begin{aligned} δ ψ_{-}^{μ} & = - 2 \partial_{-} X^{μ} ϵ_{+}, \\ δ ψ_{+}^{μ} & = 2 \partial_{+} X^{μ} ϵ_{-} . \end{aligned} \end{matrix}

在超对称变换下，我们的拉式量式 2 按照下面进行变换

\begin{matrix} (14) & δ L = - T [\partial_{α} (\bar{ϵ} ψ^{μ} \partial^{α} X_{μ}) - \partial_{α} \bar{ϵ} (ρ^{β} ρ^{α} ψ^{μ} \partial_{β} X_{μ})] . \end{matrix}

因为第一项是全导数项，我们忽略不计，我们可得守恒流是

\begin{matrix} (15) & J_{α}^{μ} = \frac{1}{2} ρ^{β} ρ_{α} ψ^{μ} \partial_{β} X_{μ} . \end{matrix}

3. 能量动量张量

　　考虑世界面坐标的平移变换

\begin{matrix} (16) & σ^{α} \to σ^{α} + ϵ^{α}, \end{matrix}

玻色场

X^{μ}

的变换如下

\begin{matrix} (17) & X^{μ} \to X^{μ} + ϵ^{α} \partial_{α} X^{μ}, \end{matrix}

费米子场的变换如下

\begin{matrix} (18) & ψ^{μ} \to ψ^{μ} + ϵ^{α} \partial_{α} ψ^{μ} . \end{matrix}

首先我们看拉式量里面的费米子部分，我们有

\begin{matrix} (19) & L_{F} = - \frac{i}{2} {\bar{ψ}}^{μ} ρ^{α} \partial_{α} ψ_{μ}, \end{matrix}

我们对这一项进行变分

\begin{matrix} (20) & \begin{aligned} δ L_{F} & = - \frac{i}{2} (δ {\bar{ψ}}^{μ}) ρ^{α} \partial_{α} ψ_{μ} - \frac{i}{2} {\bar{ψ}}^{μ} ρ^{α} \partial_{α} (δ ψ_{μ}) \\ = - \frac{i}{2} (ϵ^{β} \partial_{β} {\bar{ψ}}^{μ}) ρ^{α} \partial_{α} ψ_{μ} - \frac{i}{2} {\bar{ψ}}^{μ} ρ^{α} \partial_{α} (ϵ^{β} \partial_{β} ψ_{μ}), \end{aligned} \end{matrix}

经过一番计算，我们得到

\begin{matrix} (21) & δ L_{F} = \partial_{α} ϵ^{β} (- \frac{i}{2} {\bar{ψ}}^{μ} ρ^{α} \partial_{β} ψ_{μ}) . \end{matrix}

我们需要进行对称化

\begin{matrix} (22) & δ L_{F} = \partial_{α} ϵ^{β} (- \frac{i}{4} {\bar{ψ}}^{μ} ρ^{α} \partial_{β} ψ_{μ} - \frac{i}{4} {\bar{ψ}}^{μ} ρ^{β} \partial_{α} ψ_{μ}) . \end{matrix}

加上玻色部分，我们可以推出如下的能量动量张量

\begin{matrix} (23) & T_{α β} = \partial_{α} X^{μ} \partial_{β} X_{μ} + \frac{i}{4} {\bar{ψ}}^{μ} ρ_{α} \partial_{β} ψ_{μ} + \frac{i}{4} {\bar{ψ}}^{μ} ρ_{β} \partial_{α} ψ_{μ} - (T r a c e) . \end{matrix}

减去 Trace 那部分是为了保证能量动量张量保持无迹。这是标度不变性的要求。使用光锥坐标，我们可以把能量动量张量的非零部分计算如下

\begin{matrix} (24) & T_{+ +} = \partial_{+} X_{μ} \partial_{+} X^{μ} + \frac{i}{2} ψ_{+}^{μ} \partial_{+} ψ_{+ μ} . \end{matrix}

超对称的流是

\begin{matrix} (25) & J_{+} = ψ_{+}^{μ} \partial_{+} X_{μ}, J_{-} = ψ_{-}^{μ} \partial_{-} X_{μ}, \end{matrix}

费米子的运动方程是

\begin{matrix} (26) & \partial_{+} ψ_{-}^{μ} = \partial_{-} ψ_{+}^{μ} = 0, \end{matrix}

玻色子的运动方程是

\begin{matrix} (27) & \partial_{+} \partial_{-} X^{μ} = 0, \end{matrix}

我们可以得到能量动量张量的守恒定律

\begin{matrix} (28) & \partial_{-} T_{+ +} = \partial_{+} T_{- -} = 0 . \end{matrix}

4. 模式展开和边界条件

　　我们回到费米子的作用量

\begin{matrix} (29) & S_{F} = \int d^{2} σ (ψ_{-} \partial_{+} ψ_{-} + ψ_{+} \partial_{-} ψ_{+}) . \end{matrix}

以第二项为例，我们对其进行变分，我们得到

\begin{matrix} (30) & δ \int d^{2} σ ψ_{+} \partial_{-} ψ_{+} = \int d^{2} σ [δ ψ_{+} \partial_{-} ψ_{+} + ψ_{+} \partial_{-} (δ ψ_{+})], \end{matrix}

使用分部积分，我们有

\begin{matrix} (31) & \int d^{2} σ ψ_{+} \partial_{-} (δ ψ_{+}) = \int_{- \infty}^{\infty} d τ ψ_{+} δ ψ_{+} |_{σ = 0}^{σ = π} - \int d^{2} σ \partial_{-} ψ_{+} δ ψ_{+}, \end{matrix}

对另外一些项也进行类似处理，我们可以得到如下的边界项

\begin{matrix} (32) & δ S_{F} = \int_{- \infty}^{\infty} d τ {(ψ_{+} δ ψ_{+} - ψ_{-} δ ψ_{-}) |_{σ = π} - (ψ_{+} δ ψ_{+} - ψ_{-} δ ψ_{-}) |_{σ = 0}} . \end{matrix}

5. 开弦的边界条件

　　洛伦兹不变要求边界项必须为零。于是我们可以得到

\begin{matrix} (33) & ψ_{+} δ ψ_{+} - ψ_{-} δ ψ_{-} = 0 . \end{matrix}

在

σ = 0

处我们可以取

\begin{matrix} (34) & ψ_{μ}^{+} (0, τ) = ψ_{μ}^{-} (0, τ) . \end{matrix}

更一般地来说

ψ_{+} = \pm ψ_{-}

都可以让边界条件消失。我们一般选择式 34 作为

σ = 0

处的边界条件。这让

σ = π

处的边界条件 ambiguous。我们可以选取两种不同的边界条件

$ψ_{μ}^{+} (π, τ) = ψ_{μ}^{-} (π, τ)$ (Ramond) 给出的弦的态是时空费米子
$ψ_{μ}^{+} (π, τ) = - ψ_{μ}^{-} (π, τ)$ (Neveau-Schwarz) 给出的弦的态是时空玻色子

6. 开弦的模展开

　　首先我们来考虑 R 部分。模式展开如下

\begin{matrix} (35) & \begin{array}{r} ψ_{-}^{μ} (σ, τ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{n} d_{n}^{μ} e^{- i n (τ - σ)}, \\ ψ_{+}^{μ} (σ, τ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{n} d_{n}^{μ} e^{- i n (τ + σ)} . \end{array} \end{matrix}

Majorana 条件是费米子是实的。这令我们取

\begin{matrix} (36) & d_{- n}^{μ} = (d_{n}^{μ})^{†}, \end{matrix}

n

的取值是

n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots

　　 NS 部分具有不同的模式展开。展开如下

\begin{matrix} (37) & \begin{array}{r} ψ_{-}^{μ} (σ, τ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{r} b_{r}^{μ} e^{- i r (τ - σ)}, \\ ψ_{+}^{μ} (σ, τ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{e} b_{r}^{μ} e^{- i r (τ + σ)} . \end{array} \end{matrix}

这里的

r

取值是

\begin{matrix} (38) & r = \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{5}{2}, \dots \end{matrix}

7. 闭弦的边界条件

　　闭弦有两种边界条件

$ψ_{\pm} (σ, τ) = ψ_{\pm} (σ + π, τ)$ (周期性边界条件)
$ψ_{\pm} (σ, τ) = - ψ_{\pm} (σ + π, τ)$ (反周期性边界条件)

8. 闭弦的模式展开

　　上面的两种边界条件可以分别应用到左行波和右行波上面。模式展开是

\begin{matrix} (39) & \begin{array}{r} ψ_{+}^{μ} (σ, τ) = \sum_{r} {\tilde{d}}_{r}^{μ} e^{- 2 i r (τ + σ)}, \\ ψ_{-}^{μ} (σ, τ) = \sum_{r} {\tilde{d}}_{r}^{μ} e^{- 2 i r (τ - σ)} . \end{array} \end{matrix}

如果我们选择 R 部分，那么

\begin{matrix} (40) & r = 0, \pm 1, \pm 2, \dots \end{matrix}

从另一方面来讲，如果我们选择 NS 部分，那么

\begin{matrix} (41) & r = \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}, \dots \end{matrix}

左行的部分和右行的部分是独立的。如果左行和右行的部分能够匹配上，我们就得到了时空玻色子。如果左行和右行的部分不能匹配上，我们就得到了时空费米子。

选取 NS 作为左行的部分，选取 NS 作为右行的部分给出时空玻色子。
选取 R 作为左行的部分，选取 R 作为右行的部分给出时空玻色子。
选取 NS 作为左行的部分，选取 R 作为右行的部分给出时空费米子。
选取 R 作为左行的部分，选取 NS 作为右行的部分给出时空费米子。

9. Super-Virasoro 生成元

　　我们把 Virasoro 算符进行扩展

\begin{matrix} (42) & L_{m} \to L_{m}^{(B)} + L_{m}^{(F)} . \end{matrix}

我们使用下面的定义

\begin{matrix} (43) & L_{m} = \frac{1}{2} \sum_{- \infty}^{\infty} α_{m - n} \cdot α_{n} + \frac{1}{4} \sum_{r} (2 r - m) b_{- r} b_{m + r} . \end{matrix}

此外，我们还有从超对称流出来的第二个生成元。对于 NS，我们有

\begin{matrix} (44) & G_{r} = \frac{\sqrt{2}}{π} \int_{- π}^{π} d σ e^{i r σ} J_{+} = \sum_{m = - \infty}^{\infty} α_{m} \cdot b_{r + m} . \end{matrix}

对于 R，我们有

\begin{matrix} (45) & F_{m} = \sum_{n} α_{- n} \cdot d_{m + n} . \end{matrix}

这里，m 和 n 都是整数。

r = \pm 1 / 2, \pm 3 / 2

10. 正则量子化

　　首先我们来回顾玻色弦的正则量子化关系

\begin{matrix} (46) & [α_{m}^{μ}, α_{n}^{ν}] = m δ_{m + n, 0} η^{μ ν} . \end{matrix}

对于闭弦来说，还有一个与之类似的与

\bar{α}

有关的关系。对于超弦理论，我们还需要补充费米子的对易关系

\begin{matrix} (47) & {ψ_{A}^{μ} (σ, τ), ψ_{B}^{μ} (σ^{'}, τ)} = π η^{μ ν} δ_{A B} δ (σ - σ^{'}) . \end{matrix}

按照模式来写，我们有如下对易关系

\begin{matrix} (48) & \begin{aligned} {b_{r}^{μ}, b_{r}^{ν}} & = η^{μ ν} δ_{r + s, 0}, \\ {d_{m}^{μ}, d_{n}^{ν}} & = η^{μ ν} δ_{m + n, 0} . \end{aligned} \end{matrix}

11. Super-Virasoro 代数

NS Sector

　　对于 NS sector，我们有如下代数

\begin{matrix} (49) & \begin{aligned} [L_{n}, L_{m}] & = (n - m) L_{n + m} + \frac{c}{12} (n^{3} - n) δ_{n + m, 0}, \\ [L_{n}, G_{r}] & = \frac{1}{2} (n - 2 r) G_{n + r}, \\ {G_{r}, G_{s}} & = 2 L_{r + s} + \frac{c}{12} (4 r^{2} - 1) δ_{r + s, 0} . \end{aligned} \end{matrix}

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