贡献者： zhousiyi; addis
我们使用 Ramond-Neveu-Schwarz(RNS)形式来修改玻色弦理论以引入费米子。这个方法在世界面上具有超对称。随后我们会使用具有时空超对称的 Green-Schwarz 形式。当时空维度是 10 的时候，这两个方案是等价的。
首先我们考虑共形规范下的 Polyakov 作用量。
\begin{equation}
S = - \frac{T}{2} \int d^2 \sigma \partial_\alpha X^\mu \partial^\alpha X_\mu~.
\end{equation}
加入自由费米子 $\psi$ 之后，作用量如下
\begin{equation}
S = - \frac{T}{2} \int d^2\sigma (\partial_\alpha X^\mu \partial^\alpha X_\mu - i \bar\psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha \psi_\mu)~.
\end{equation}
$\rho^\alpha$ 是世界面上的狄拉克矩阵。因为世界面是 1+1 维的，所以 $\rho^\alpha$ 也是 1+1 维的狄拉克矩阵。有两个这样的矩阵
\begin{equation}
\rho^0 = \begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix}~, \quad \rho^1 = \begin{pmatrix}
0 & i \\
i & 0
\end{pmatrix}~.
\end{equation}
1. Majorana 旋量
$\psi^\mu = \psi^\mu(\sigma,\tau)$ 是两分量 Majorana 旋量。我们把它记作
\begin{equation}
\psi = \begin{pmatrix}
\psi_- \\
\psi_+
\end{pmatrix}~.
\end{equation}
在洛伦兹变换下，这些场按照矢量的规则变换。我们可以定义 $\bar\psi^\mu$
\begin{equation}
\bar\psi^\mu = (\psi^\dagger)^\mu \rho^0~.
\end{equation}
我们再定义一个 $\rho^3$ 矩阵如下
\begin{equation}
\rho^3 = \rho^0 \rho^1 = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}~.
\end{equation}
我们现在进行如下的定义
\begin{equation}
\begin{aligned}
\sigma^{\pm} & = \tau \pm \sigma~, \\
\partial_{\pm} & = \frac{1}{2} (\partial_\tau \pm \partial_\sigma)~, \\
\partial_\tau & = \partial_+ + \partial_-~, \quad \partial_\sigma = \partial_+ - \partial_- ~.
\end{aligned}
\end{equation}
经过计算，我们可以得出
\begin{equation}
\begin{aligned}
S_{\rm F} & = - \frac{T}{2} \int d^2 \sigma (- i \bar \psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha \psi_\mu ) \\
& = - \frac{T}{2} \int d^2\sigma (-2i) (\psi_-\cdot\partial_+\psi_- + \psi_+\cdot \partial_- \psi_+) \\
& = i T\int d^2\sigma (\psi_-\cdot \partial_+ \psi_- +\psi_+\cdot \partial_- \psi_+ )~.
\end{aligned}
\end{equation}
从上面的作用量我们可以看出如下的运动方程
\begin{equation}
\partial_+\psi^\mu_- = \partial_-\psi^\mu_+ = 0~.
\end{equation}
2. 世界面上的超对称变换
我们现在引入超对称变换的参数 $\epsilon$。这个参数也是一个 Majorana 旋量
\begin{equation}
\epsilon = \begin{pmatrix}
\epsilon_- \\
\epsilon_+
\end{pmatrix}~.
\end{equation}
因为 $\epsilon$ 的组成部分被取成常数，这代表了世界面上的全局坐标。超对称变换有如下形式
\begin{equation}
\begin{aligned}
\delta X^\mu & = \bar \epsilon \psi^\mu ~, \\
\delta \psi^\mu & = - i \rho^\alpha \partial_\alpha X^\mu \epsilon ~.
\end{aligned}
\end{equation}
我们的作用量在上面的超对称变换下保持不变。这个变换让自由的玻色子变成费米子，也让自由的费米子变成玻色子。按照分量来写的话，
式 11 的第一个式子可以化简成如下形式
\begin{equation}
\delta X^\mu = \epsilon_- \psi_-^\mu + \epsilon_+ \psi_+^\mu~.
\end{equation}
的第二个式子可以化简成如下形式
\begin{equation}
\begin{aligned}
\delta \psi_-^\mu & = -2\partial_-X^\mu \epsilon_+ ~, \\
\delta \psi_+^\mu & = 2 \partial_+ X^\mu \epsilon_-~.
\end{aligned}
\end{equation}
在超对称变换下，我们的拉式量
式 2 按照下面进行变换
\begin{equation}
\delta L = -T[ \partial_\alpha (\bar\epsilon\psi^\mu\partial^\alpha X_\mu) - \partial_\alpha \bar\epsilon (\rho^\beta\rho^\alpha\psi^\mu\partial_\beta X_\mu) ] ~.
\end{equation}
因为第一项是全导数项，我们忽略不计，我们可得守恒流是
\begin{equation}
J^\mu_\alpha = \frac{1}{2} \rho^\beta \rho_\alpha \psi^\mu \partial_\beta X_\mu ~.
\end{equation}
3. 能量动量张量
考虑世界面坐标的平移变换
\begin{equation}
\sigma^\alpha \rightarrow \sigma^\alpha + \epsilon^\alpha~,
\end{equation}
玻色场 $X^\mu$ 的变换如下
\begin{equation}
X^\mu \rightarrow X^\mu + \epsilon^\alpha \partial_\alpha X^\mu ~,
\end{equation}
费米子场的变换如下
\begin{equation}
\psi^\mu \rightarrow \psi^\mu + \epsilon^\alpha \partial_\alpha \psi^\mu ~.
\end{equation}
首先我们看拉式量里面的费米子部分，我们有
\begin{equation}
L_{\rm F} = - \frac{i}{2} \bar\psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha \psi_\mu ~,
\end{equation}
我们对这一项进行变分
\begin{equation}
\begin{aligned}
\delta L_{\rm F} & = - \frac{i}{2} (\delta \bar\psi^\mu) \rho^\alpha \partial_\alpha \psi_\mu - \frac{i}{2} \bar\psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha (\delta \psi_\mu) \\
& = -\frac{i}{2} (\epsilon^\beta\partial_\beta\bar\psi^\mu) \rho^\alpha \partial_\alpha \psi_\mu - \frac{i}{2} \bar\psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha (\epsilon^\beta\partial_\beta \psi_\mu) ~,
\end{aligned}
\end{equation}
经过一番计算，我们得到
\begin{equation}
\delta L_{\rm F} = \partial_\alpha \epsilon^\beta \bigg( - \frac{i}{2} \bar\psi^\mu \rho^\alpha \partial_\beta \psi_\mu \bigg)~.
\end{equation}
我们需要进行对称化
\begin{equation}
\delta L_{\rm F} = \partial_\alpha \epsilon^\beta \bigg( -\frac{i}{4} \bar\psi^\mu \rho^\alpha \partial_\beta \psi_\mu - \frac{i}{4} \bar \psi^\mu \rho^\beta\partial_\alpha \psi_\mu \bigg)~.
\end{equation}
加上玻色部分，我们可以推出如下的能量动量张量
\begin{equation}
T_{\alpha\beta} = \partial_\alpha X^\mu \partial_\beta X_\mu + \frac{i}{4} \bar\psi^\mu \rho_\alpha \partial_\beta \psi_\mu + \frac{i}{4} \bar \psi^\mu \rho_\beta\partial_\alpha\psi_\mu - {\rm (Trace)}~.
\end{equation}
减去 Trace 那部分是为了保证能量动量张量保持无迹。这是标度不变性的要求。使用光锥坐标，我们可以把能量动量张量的非零部分计算如下
\begin{equation}
T_{++} = \partial_+X_\mu\partial_+X^\mu + \frac{i}{2} \psi^\mu_+ \partial_+ \psi_{+\mu}~.
\end{equation}
超对称的流是
\begin{equation}
J_+ = \psi^\mu_+ \partial_+ X_\mu~, \quad J_- = \psi^\mu_- \partial_- X_\mu ~,
\end{equation}
费米子的运动方程是
\begin{equation}
\partial_+\psi^\mu_- = \partial_- \psi^\mu_+ = 0~,
\end{equation}
玻色子的运动方程是
\begin{equation}
\partial_+\partial_- X^\mu = 0~,
\end{equation}
我们可以得到能量动量张量的守恒定律
\begin{equation}
\partial_- T_{++} = \partial_+ T_{--} = 0~.
\end{equation}
4. 模式展开和边界条件
我们回到费米子的作用量
\begin{equation}
S_{\rm F} = \int d^2\sigma (\psi_-\partial_+\psi_-+\psi_+\partial_-\psi_+)~.
\end{equation}
以第二项为例，我们对其进行变分，我们得到
\begin{equation}
\delta \int d^2\sigma\psi_+ \partial_- \psi_+ = \int d^2\sigma [\delta\psi_+\partial_-\psi_+ + \psi_+ \partial_- (\delta\psi_+)]~,
\end{equation}
使用分部积分，我们有
\begin{equation}
\int d^2\sigma \psi_+ \partial_- (\delta\psi_+) = \int_{-\infty}^{\infty} d \tau \psi_+ \delta\psi_+ \bigg|_{\sigma = 0}^{\sigma = \pi} - \int d^2\sigma \partial_-\psi_+\delta\psi_+~,
\end{equation}
对另外一些项也进行类似处理，我们可以得到如下的边界项
\begin{equation}
\delta S_{\rm F} = \int_{-\infty}^{\infty} d\tau \{ (\psi_+\delta \psi_+ - \psi_-\delta \psi_-) \bigg|_{\sigma = \pi} - (\psi_+\delta\psi_+ - \psi_-\delta\psi_-) \bigg|_{\sigma = 0} \}~.
\end{equation}
5. 开弦的边界条件
洛伦兹不变要求边界项必须为零。于是我们可以得到
\begin{equation}
\psi_+ \delta \psi_+ - \psi_- \delta \psi_- = 0~.
\end{equation}
在 $\sigma = 0$ 处我们可以取
\begin{equation}
\psi^+_\mu(0,\tau) = \psi^-_{\mu} (0,\tau) ~.
\end{equation}
更一般地来说 $\psi_+ = \pm \psi_-$ 都可以让边界条件消失。我们一般选择
式 34 作为 $\sigma = 0$ 处的边界条件。这让 $\sigma = \pi$ 处的边界条件 ambiguous。我们可以选取两种不同的边界条件
- $\psi^+_\mu(\pi,\tau) = \psi^-_\mu(\pi,\tau)$ (Ramond)
给出的弦的态是时空费米子
- $\psi^+_\mu(\pi,\tau) = - \psi^-_\mu(\pi,\tau)$ (Neveau-Schwarz) 给出的弦的态是时空玻色子
6. 开弦的模展开
首先我们来考虑 R 部分。模式展开如下
\begin{equation}
\begin{aligned}
\psi^\mu_-(\sigma,\tau) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_n d^\mu_n e^{- i n (\tau-\sigma)}~, \\
\psi^\mu_+(\sigma, \tau ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_n d^\mu_n e^{- i n (\tau+\sigma)}~.
\end{aligned}
\end{equation}
Majorana 条件是费米子是实的。这令我们取
\begin{equation}
d^\mu_{-n} = (d^\mu_n)^\dagger~,
\end{equation}
$n$ 的取值是 $n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$.
NS 部分具有不同的模式展开。展开如下
\begin{equation}
\begin{aligned}
\psi^\mu_-(\sigma,\tau) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_r b^\mu_r e^{- i r(\tau-\sigma)}~, \\
\psi^\mu_+(\sigma,\tau) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_e b^\mu_r e^{- i r (\tau+\sigma)}~.
\end{aligned}
\end{equation}
这里的 $r$ 取值是
\begin{equation}
r = \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{5}{2}~, \ldots~
\end{equation}
7. 闭弦的边界条件
闭弦有两种边界条件
- $\psi_{\pm}(\sigma,\tau) = \psi_{\pm}(\sigma+\pi,\tau)$ (周期性边界条件)
- $\psi_{\pm}(\sigma,\tau) = -\psi_{\pm}(\sigma+\pi,\tau)$ (反周期性边界条件)
8. 闭弦的模式展开
上面的两种边界条件可以分别应用到左行波和右行波上面。模式展开是
\begin{equation}
\begin{aligned}
\psi^\mu_+(\sigma,\tau) = \sum_r \tilde d^\mu_r e^{- 2 i r (\tau+\sigma)}~, \\
\psi^\mu_-(\sigma,\tau) = \sum_r \tilde d^\mu_r e^{- 2 i r (\tau-\sigma)}~.
\end{aligned}
\end{equation}
如果我们选择 R 部分，那么
\begin{equation}
r = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots~
\end{equation}
从另一方面来讲，如果我们选择 NS 部分，那么
\begin{equation}
r = \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}, \ldots~
\end{equation}
左行的部分和右行的部分是独立的。如果左行和右行的部分能够匹配上，我们就得到了时空玻色子。如果左行和右行的部分不能匹配上，我们就得到了时空费米子。
- 选取 NS 作为左行的部分，选取 NS 作为右行的部分给出时空玻色子。
- 选取 R 作为左行的部分，选取 R 作为右行的部分给出时空玻色子。
- 选取 NS 作为左行的部分，选取 R 作为右行的部分给出时空费米子。
- 选取 R 作为左行的部分，选取 NS 作为右行的部分给出时空费米子。
9. Super-Virasoro 生成元
我们把 Virasoro 算符进行扩展
\begin{equation}
L_m \rightarrow L_m^{(B)} + L_m^{(F)}~.
\end{equation}
我们使用下面的定义
\begin{equation}
L_m = \frac{1}{2} \sum_{-\infty}^{\infty} \alpha_{m-n} \cdot \alpha_n + \frac{1}{4} \sum_r (2r-m) b_{-r} b_{m+r}~.
\end{equation}
此外，我们还有从超对称流出来的第二个生成元。对于 NS，我们有
\begin{equation}
G_r = \frac{\sqrt{2}}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} d\sigma e^{ir\sigma} J_+ = \sum_{m=-\infty}^{\infty} \alpha_m \cdot b_{r+m}~.
\end{equation}
对于 R，我们有
\begin{equation}
F_m = \sum_n \alpha_{-n} \cdot d_{m+n}~.
\end{equation}
这里，m 和 n 都是整数。$r=\pm 1/2,\pm 3/2$.
10. 正则量子化
首先我们来回顾玻色弦的正则量子化关系
\begin{equation}
[\alpha^\mu_m,\alpha^\nu_n] = m \delta_{m+n,0} \eta^{\mu\nu}~.
\end{equation}
对于闭弦来说，还有一个与之类似的与 $\bar\alpha$ 有关的关系。对于超弦理论，我们还需要补充费米子的对易关系
\begin{equation}
\{\psi^\mu_A(\sigma,\tau),\psi^\mu_B(\sigma',\tau) \} = \pi \eta^{\mu\nu} \delta_{AB} \delta(\sigma - \sigma')~.
\end{equation}
按照模式来写，我们有如下对易关系
\begin{equation}
\begin{aligned}
\{ b^\mu_r, b^\nu_r\} & = \eta^{\mu\nu} \delta_{r+s,0}~, \\
\{ d^\mu_m, d^\nu_n\} & = \eta^{\mu\nu} \delta_{m+n,0} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
11. Super-Virasoro 代数
NS Sector
对于 NS sector，我们有如下代数
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left[ L_n,L_m \right] &= (n-m) L_{n+m} + \frac{c}{12} (n^3-n) \delta_{n+m,0}~,\\
[L_n,G_r] &= \frac{1}{2} (n-2r) G_{n+r}~, \\
\{ G_r, G_s \} &= 2 L_{r+s} + \frac{c}{12} (4 r^2 - 1) \delta_{r+s,0}~.
\end{aligned}
\end{equation}
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。