BRST 量子化

             

   弦理论的量子化方案有三种:协变量子化,光锥量子化和 BRST 量子化.三种方案的优劣比较如下:

BRST 算符

   首先我们来考虑李代数.考虑算符 $K_i$,这些算符满足如下的李代数

\begin{equation} [K_i,K_j] = f_{ij}{}^k K_k~. \end{equation}
其中 $f_{ij}{}^k$ 被称作理论的结构常数.这些结构常数满足
\begin{equation} f_{ij}{}^m f_{mk}{}^i + f_{jk}{}^m f_{mi}{}^l+f_{ki}{}^m f_{mj}{}^l = 0 ~. \end{equation}
现在我们引入两个鬼场,记作 $b_i$ 和 $c_j$,它们满足反对易关系
\begin{equation} \{ c^i, b_j \} = \delta^i_j~. \end{equation}
我们现在回忆一下,一个场 $\phi(z,\bar z)$ 在共形变换 $z\rightarrow w(z)$ 下具有如下变换的时候
\begin{equation} \phi(z,\bar z) = \bigg( \frac{\partial w}{\partial z} \bigg)^h \bigg( \frac{\partial w}{\partial \bar z} \bigg)^{\bar h} \phi (w,\bar w)~. \end{equation}
我们就说,这个场具有共形维度 $(h,\bar h)$. $b$ 和 $c$ 场的共形维度分别是 $2$ 和 $-1$. 我们现在来用 $b$ 和 $c$ 这两个鬼场以及 $K_i$ 来构造两个算符.第一个是
\begin{equation} Q = c^i K_i - \frac{1}{2} f_{ij}{}^k c^i c^j b_k~. \end{equation}
我们假设 $Q = Q^\dagger$.$Q$ 满足如下性质
\begin{equation} Q^2 = 0~. \end{equation}
这个关系也可以写作 $\{Q,Q\}=0$.我们把 BRST 的算符记作 $Q$ 是为了暗示它是这个系统的守恒荷.我们把这叫做 BRST 荷.

   第二个完全由鬼场组成的算符叫做鬼场算符 U.它的表达式如下

\begin{equation} U = c^i b_i~. \end{equation}
这个算符具有整数的特征值.如果李代数的维度是 $n$,那么 $U$ 的特征值就是 $0,\ldots ,n$.如果一个态 $|\Psi\rangle$ 满足 $U|\Psi\rangle=m|\Psi\rangle$,我们就说这个态具有鬼数 $m$.$Q$ 能够把鬼数提升 1.
\begin{equation} U (Q|\Psi\rangle) = (1+m) (Q|\Psi\rangle)~. \end{equation}

BRST 不变态

   一个态 $|\Psi\rangle$ 如果能被 BRST 算符湮灭掉,那这个态就被称为 BRST 不变态.

\begin{equation} Q|\Psi\rangle = 0 \rightarrow |\Psi\rangle \text{是 BRST 不变的}~. \end{equation}
BRST 不变态是一个理论的物理态.因为 $Q^2=0$,我们可以得知任何一个满足如下条件的态 $|\Psi\rangle$ 都是 BRST 不变的
\begin{equation} |\Psi\rangle = Q |\chi\rangle \neq 0~. \end{equation}
因为
\begin{equation} Q|\Psi\rangle = Q^2 |\chi\rangle = 0~. \end{equation}
我们把满足 $|\Psi\rangle=Q|\chi\rangle$ 的态叫做零态.假设 $|\phi\rangle$ 是物理态,那么 $Q|\phi\rangle=0$. 注意到
\begin{equation} \langle\phi|\Psi\rangle = \langle\phi|(Q|\chi\rangle) = (\langle | Q) |\chi\rangle = 0~. \end{equation}
因此,一个物理态和一个零态之间的振幅总是为 0.现在我们知道了,对态 $|\phi\rangle$ 加上一个零态 $|\Psi\rangle = Q|\chi\rangle$ 之后,仍然和 $|\phi\rangle$ 等价.
\begin{equation} |\phi\rangle \text{等价于} |\phi\rangle+Q|\chi\rangle~. \end{equation}
如果一个态 $|\Psi\rangle$ 具有鬼数 0,我们有
\begin{equation} U|\Psi\rangle = 0~. \end{equation}
式 7 以及式 14 ,我们可以得知 $b_k|\Psi\rangle = 0$.一个态 $|\Psi\rangle$ 如果满足 $b_k|\Psi\rangle = 0$,也就是说这个态被 $b$ 湮灭,这样一个态不能被 $c$ 湮灭,因为
\begin{equation} U = \sum_i c^i b_i = \sum_i \delta^i_i - b_i c^i = n - \sum_i b_i c^i~. \end{equation}
我们可以得知
\begin{equation} U|\Psi\rangle = \bigg( n - \sum_i b_i c^i \bigg) | \Psi\rangle = n|\Psi\rangle - \sum_i b_i c^i |\Psi\rangle \end{equation}
对于鬼数为 0 的态我们有如下结论
\begin{equation} Q|\Psi\rangle = \sum_i c^i K_i |\Psi\rangle~. \end{equation}
这说明对于一个鬼数为零的态,我们有
\begin{equation} K_i|\Psi\rangle = 0~. \end{equation}
我们可以说:一个 BRST 不变而且具有鬼数 0 的态也会在生成元是 $K_i$ 的对称性下保持不变.如果一个态具有鬼数 0,这告诉我们这个态不是一个鬼态,因此我们避免了负的概率.

弦理论里面的 BRST

   我们现在选取共形规范 $h_{\alpha\beta} = \eta_{\alpha\beta}$. 在这个情形下,能量动量张量具有一个全纯的部分 $T_{zz}(z)$ 和一个反全纯的部分 $T_{\bar z\bar z}(\bar z)$. $T_{zz}(z)$ 有如下展开式

\begin{equation} T_{zz}(z) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} \frac{L_{m}}{z^{m+2}}~. \end{equation}
$T_{zz}(z)T_{ww}(w)$ 的算子积展开如下
\begin{equation} T_{zz}(z)T_{ww}(w) = \frac{D/2}{(z-w)^4} - \frac{2T_{ww}(w)}{(z-w)^2} - \frac{\partial_wT_{ww}(w)}{z-w}~. \end{equation}
为了简便起见,我们省略了因子 $l_s^2$.我们对鬼场进行如下定义
\begin{equation} b(z)c(w) = \frac{1}{z-w},\quad \bar b (\bar z) \bar c (\bar w) = \frac{1}{\bar z- \bar w} ~. \end{equation}
接下来我们写下鬼场的能量动量张量 $T_{\rm gh}(z)$.它的表达式如下
\begin{equation} T_{\rm gh} = -2 b(z) \partial_z c(z) - \partial_z b(z) c(z)~. \end{equation}
利用鬼场的能量动量张量以及弦的能量动量张量,我们推出了如下的 BRST 流
\begin{equation} j(z) = c(z) \bigg( T_{zz} (z) + \frac{1}{2} T_{\rm gh}(z) \bigg) = c(z) T_{zz} (z) + c(z) \partial_z c(z) b(z)~. \end{equation}
BRST 荷由下式给定
\begin{equation} Q = \int \frac{dz}{2\pi i} j(z)~. \end{equation}
中心荷来自算子积展开式 20 的第一项,也就是
\begin{equation} \frac{D/2}{(z-w)^4}~. \end{equation}
这一项也叫做共形反常,因为它让代数不闭合.所以我们想要去掉这一项.我们考虑总的能量动量张量,它是弦的能量动量张量和鬼的能量动量张量之和.
\begin{equation} T = T_{zz} (z) + T_{\rm gh} (z)~. \end{equation}
鬼的能量动量张量如下
\begin{equation} T_{\rm gh}(z) T_{\rm gh} (w) = \frac{-13}{(z-w)^4} - \frac{2T_{\rm gh} (w) }{(z-w)^2} - \frac{\partial_w T_{\rm gh}(w)}{z-w} \end{equation}
如果时空维度是 26 维,那么鬼场的能量动量张量的算子积展开式 27 的第一项能够把共形反常给消掉.这一结论是直接由 BRST 荷的 $Q^2=0$ 推导出来的.

BRST 变换

   我们在光锥坐标系下,定义鬼场 $c$ 和反鬼场 $b$. 其中 $c$ 由 $c^+$,$c^-$ 两部分组成.$b$ 由 $b_{++}$,$b_{--}$ 两部分组成.我们引入鬼场的能量动量张量 $T^{\rm gh}_{\pm\pm}$

\begin{equation} \begin{aligned} T^{\rm gh}_{++} & = i (2 b_{++}\partial_+ c^+ +\partial_+ b_{++}c^+)~. \\ T^{\rm gh}_{--} & = i (2 b_{--}\partial_- c^- +\partial_- b_{--}c^-)~. \end{aligned} \end{equation}
BRST 变换归纳如下
\begin{equation} \begin{aligned} \delta X^\mu & = i \epsilon (c^+\partial_+ + c^- \partial_- ) X^\mu~. \\ \delta c^{\pm} & = \pm i \epsilon (c^+\partial_++c^-\partial_-) c^{\pm} ~. \\ \delta b_{\pm\pm} & = \pm i \epsilon (T_{\pm\pm} +T^{\rm gh}_{\pm\pm})~. \end{aligned} \end{equation}
鬼场的作用量是
\begin{equation} S_{\rm gh} = \int d^2\sigma (b_{++} \partial_- c^+ + b_{--} \partial_+ c^- ) ~. \end{equation}
从作用量出发我们可以推出如下运动方程
\begin{equation} \partial_- b_{++} = \partial_+ b_{--} = \partial_- c^+ = \partial_+ c^- = 0~. \end{equation}
接下来我们写下鬼场的模式展开
\begin{equation} \begin{aligned} & c^+ = \sum_n \bar c_n e^{-i n (\tau+\sigma)} ~, \quad c^- = \sum_n c_n e^{-in(\tau-\sigma)} ~, \\ & b_{++} = \sum_n \bar b_n e^{-i n (\tau+\sigma)}~, \quad b_{--} = \sum_n b_n e^{-in(\tau-\sigma)} \end{aligned} \end{equation}
这些模式满足如下的反对易关系
\begin{equation} \{b_m,c_n\} = \delta_{m+n,0}~. \end{equation}
并且 $\{b_m,b_n\}=\{c_m,c_n\}=0$.鬼场的 Virasoro 算符是用这些模式定义出来的.使用正规序展开,它们是
\begin{equation} L_m^{\rm gh} = \sum_n (m-n):b_{m+n}c_{-n}:~, \quad \bar L_m^{\rm gh} = \sum_n (m-n) :\bar b_{m+n}\bar c_{-n}:~. \end{equation}
总的 Virasoro 算符定义如下
\begin{equation} L^{\rm tot} = L_m + L^{\rm gh}_m - a \delta_{m,0}~. \end{equation}
我们可以证明,总的 Virasoro 算符满足下面的对易关系
\begin{equation} [L^{\rm tot}_m,L^{\rm tot}_n] = (m-n) L^{\rm tot}_{m+n} + A(m) \delta_{m+n,0}~. \end{equation}
右边的 $A(m)$ 项是 Anormaly.它的表达式如下
\begin{equation} A(m) = \frac{D}{12} m (m^2-1) + \frac{1}{6} (m-13 m^3) + 2 a m~. \end{equation}
为了让反常消失,我们取 $D=26,a=1$. BRST 流由下式给出
\begin{equation} j = c T+ \frac{1}{2} : c T^{\rm gh} : + \frac{3}{2} \partial^2 c~. \end{equation}
BRST 荷由下面的模式展开给出
\begin{equation} Q = \sum_n c_n L_{-n} + \frac{1}{2} \sum_{m,n} (m-n) :c_m c_n b_{-m-n}: -c_0~. \end{equation}
我们可以计算 $Q^2$,结果如下
\begin{equation} \begin{aligned} Q^2& = \frac{1}{2} \sum ( [L^{\rm tot}_m,L^{\rm tot}_n] - (m-n) L^{\rm tot}_{m+n} ) c_{-m} c_{-n} \\ & \simeq \frac{1}{12} (D-26)~. \end{aligned} \end{equation}
$Q^2=0$ 要求时空维数必须是 26 维($D=26$).回到原始的 BRST 方法,使用经典的 Virasoro 代数
\begin{equation} [L_m,L_n]=(m-n)L_{m-n}~. \end{equation}
我们可以得到结构常数的表达式如下
\begin{equation} f^k_{mn} = (m-n) \delta_{m+n,k}~. \end{equation}
现在我们来看弦理论里面物理的谱是如何构造出来的.我们先看开弦的例子.这些态是用鬼真空态构造出来的.我们把鬼真空态称作 $|\chi\rangle$.这个态被所有的正的鬼模湮灭.如果 $n > 0$ 我们有
\begin{equation} b_n|\chi\rangle = c_n|\chi\rangle = 0~. \end{equation}
鬼场的零模是一个特殊情况.它们可以用来构造理论的物理态.使用对易关系,我们可以推出零模满足如下方程
\begin{equation} \{b_0,c_0\} = 1~. \end{equation}
式 3 我们可知 $b_0^2=c_0^2=0$.我们也要求对于物理态 $|\Psi\rangle$,我们有 $b_0|\Psi\rangle = 0$.现在,我们可以从鬼态的零模出发,构造一个两态的系统.这两个基矢被记作 $|\uparrow\rangle$ 和 $|\downarrow\rangle$.它们满足
\begin{equation} \begin{aligned} & b_0|\downarrow\rangle = c_0 |\uparrow\rangle = 0 \\ & b_0|\uparrow\rangle = |\downarrow\rangle~,\quad c_0|\downarrow\rangle = |\uparrow\rangle~. \end{aligned} \end{equation}
我们选取 $|\downarrow\rangle$ 作为鬼真空态.我们可以把这个态与动量态 $|k\rangle$ 做张量积,可以得到 $|\downarrow,k\rangle$. 为了得到物理的态,我们把 BRST 荷 $Q$ 作用在上面.我们可以证明
\begin{equation} Q|\downarrow,k\rangle = (L_0-1)c_0|\downarrow,k\rangle~. \end{equation}
$Q|\downarrow,k\rangle=0$ 的要求给出了在壳条件 $L_0-1=0$.这个是快子态.第一激发态如下
\begin{equation} |\Psi\rangle = (\varsigma\cdot\alpha_{-1}+\xi_1c_{-1}+\xi_2b_{-1})|\downarrow,k\rangle~. \end{equation}
$\xi_1$ 和 $\xi_2$ 是常数,$\varsigma_\mu$ 是一个有 26 个分量的矢量.因为第一激发态是无质量的.所以它有 24 个独立的分量.为了去掉多余的自由度,我们创造一个满足 $Q|\psi\rangle = 0$ 的物理态.我们可以证明
\begin{equation} Q|\psi\rangle = 2 (p^2 c_0+(p\cdot \varsigma) c_{-1} + \xi_2 p\cdot \alpha_{-1} ) | \downarrow, k\rangle~. \end{equation}
$Q|\psi\rangle = 0$ 对参数进行了一些限制.有 26 个正模的态和 2 个负模的态.我们可以引入一些约束来去掉负模的态.第一个约束是取 $p\cdot\varsigma = 0$ 以及 $\xi_1=0$.这可以把负模的态去掉.同时 $p^2=0$,这告诉我们这是一个无质量的态.我们有量纲零模的态
\begin{equation} k_\mu\alpha^\mu_{-1}|\downarrow,k\rangle~,\quad c_{-1} |\downarrow,k\rangle~. \end{equation}
这些态跟物理的态是正交的.去掉它们给了我们一个 24 自由度的态.

无鬼定理

   无鬼定理的叙述如下: 如果时空维数是 $D=26$,那么负模的态会被自动消去.

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