BRST 量子化

                     

贡献者： zhousiyi; addis

　　 弦理论的量子化方案有三种：协变量子化，光锥量子化和 BRST 量子化。三种方案的优劣比较如下：

• 协变量子化：洛伦兹不变能明显表现出来。有鬼。时空维数是 26 维难以证明。
• 光锥量子化：洛伦兹不变不再明显。没有鬼。时空维数是 26 维容易证明。
• BRST 量子化：洛伦兹不变能明显表现出来。有鬼。时空维数是 26 维容易证明。

BRST 算符

　　 首先我们来考虑李代数。考虑算符 $K_i$,这些算符满足如下的李代数

其中 $f_{ij}{}^k$ 被称作理论的结构常数。这些结构常数满足 现在我们引入两个鬼场，记作 $b_i$ 和 $c_j$,它们满足反对易关系 我们现在回忆一下，一个场 $\varphi (z,\overline{z})$ 在共形变换 $z\to w(z)$ 下具有如下变换的时候 我们就说，这个场具有共形维度 $(h,\overline{h})$. $b$ 和 $c$ 场的共形维度分别是 $2$ 和 $-1$. 我们现在来用 $b$ 和 $c$ 这两个鬼场以及 $K_i$ 来构造两个算符。第一个是 我们假设 $Q=Q^{†}$。$Q$ 满足如下性质 这个关系也可以写作 $\{Q,Q\}=0$。我们把 BRST 的算符记作 $Q$ 是为了暗示它是这个系统的守恒荷。我们把这叫做 BRST 荷。

　　 第二个完全由鬼场组成的算符叫做鬼场算符 U。它的表达式如下

这个算符具有整数的本征值。如果李代数的维度是 $n$,那么 $U$ 的本征值就是 $0,\dots ,n$。如果一个态 $|\mathrm{\Psi }⟩$ 满足 $U|\mathrm{\Psi }⟩=m|\mathrm{\Psi }⟩$，我们就说这个态具有鬼数 $m$。$Q$ 能够把鬼数提升 1.

BRST 不变态

　　 一个态 $|\mathrm{\Psi }⟩$ 如果能被 BRST 算符湮灭掉，那这个态就被称为 BRST 不变态。

BRST 不变态是一个理论的物理态。因为 $Q^2=0$,我们可以得知任何一个满足如下条件的态 $|\mathrm{\Psi }⟩$ 都是 BRST 不变的 因为 我们把满足 $|\mathrm{\Psi }⟩=Q|\chi ⟩$ 的态叫做零态。假设 $|\varphi ⟩$ 是物理态，那么 $Q|\varphi ⟩=0$. 注意到 因此，一个物理态和一个零态之间的振幅总是为 0.现在我们知道了，对态 $|\varphi ⟩$ 加上一个零态 $|\mathrm{\Psi }⟩=Q|\chi ⟩$ 之后，仍然和 $|\varphi ⟩$ 等价。 如果一个态 $|\mathrm{\Psi }⟩$ 具有鬼数 0，我们有 从式 7 以及式 14 ，我们可以得知 $b_k|\mathrm{\Psi }⟩=0$.一个态 $|\mathrm{\Psi }⟩$ 如果满足 $b_k|\mathrm{\Psi }⟩=0$,也就是说这个态被 $b$ 湮灭，这样一个态不能被 $c$ 湮灭，因为 我们可以得知 对于鬼数为 0 的态我们有如下结论 这说明对于一个鬼数为零的态，我们有 我们可以说：一个 BRST 不变而且具有鬼数 0 的态也会在生成元是 $K_i$ 的对称性下保持不变。如果一个态具有鬼数 0，这告诉我们这个态不是一个鬼态，因此我们避免了负的概率。

弦理论里面的 BRST

　　 我们现在选取共形规范 $h_{\alpha \beta }={\eta }_{\alpha \beta }$. 在这个情形下，能量动量张量具有一个全纯的部分 $T_{zz}(z)$ 和一个反全纯的部分 $T_{\overline{z}\overline{z}}(\overline{z})$. $T_{zz}(z)$ 有如下展开式

$T_{zz}(z)T_{ww}(w)$ 的算子积展开如下 为了简便起见，我们省略了因子 $l_s^2$。我们对鬼场进行如下定义 接下来我们写下鬼场的能量动量张量 $T_{\mathrm{g}\mathrm{h}}(z)$.它的表达式如下 利用鬼场的能量动量张量以及弦的能量动量张量，我们推出了如下的 BRST 流 BRST 荷由下式给定 中心荷来自算子积展开式 20 的第一项，也就是 这一项也叫做共形反常，因为它让代数不闭合。所以我们想要去掉这一项。我们考虑总的能量动量张量，它是弦的能量动量张量和鬼的能量动量张量之和。 鬼的能量动量张量如下 如果时空维度是 26 维，那么鬼场的能量动量张量的算子积展开式 27 的第一项能够把共形反常给消掉。这一结论是直接由 BRST 荷的 $Q^2=0$ 推导出来的。

BRST 变换

　　 我们在光锥坐标系下，定义鬼场 $c$ 和反鬼场 $b$. 其中 $c$ 由 $c^{+}$,$c^{-}$ 两部分组成。$b$ 由 $b_{++}$,$b_{--}$ 两部分组成。我们引入鬼场的能量动量张量 $T_{\pm \pm }^{\mathrm{g}\mathrm{h}}$

BRST 变换归纳如下 鬼场的作用量是 从作用量出发我们可以推出如下运动方程 接下来我们写下鬼场的模式展开 这些模式满足如下的反对易关系 并且 $\{b_m,b_n\}=\{c_m,c_n\}=0$.鬼场的 Virasoro 算符是用这些模式定义出来的。使用正规序展开，它们是 总的 Virasoro 算符定义如下 我们可以证明，总的 Virasoro 算符满足下面的对易关系 右边的 $A(m)$ 项是 Anormaly。它的表达式如下 为了让反常消失，我们取 $D=26,a=1$. BRST 流由下式给出 BRST 荷由下面的模式展开给出 我们可以计算 $Q^2$,结果如下 $Q^2=0$ 要求时空维数必须是 26 维（$D=26$）。回到原始的 BRST 方法，使用经典的 Virasoro 代数 我们可以得到结构常数的表达式如下 现在我们来看弦理论里面物理的谱是如何构造出来的。我们先看开弦的例子。这些态是用鬼真空态构造出来的。我们把鬼真空态称作 $|\chi ⟩$.这个态被所有的正的鬼模湮灭。如果 $n>0$ 我们有 鬼场的零模是一个特殊情况。它们可以用来构造理论的物理态。使用对易关系，我们可以推出零模满足如下方程 由式 3 我们可知 $b_0^2=c_0^2=0$.我们也要求对于物理态 $|\mathrm{\Psi }⟩$，我们有 $b_0|\mathrm{\Psi }⟩=0$。现在，我们可以从鬼态的零模出发，构造一个两态的系统。这两个基矢被记作 $|\uparrow ⟩$ 和 $|\downarrow ⟩$。它们满足 我们选取 $|\downarrow ⟩$ 作为鬼真空态。我们可以把这个态与动量态 $|k⟩$ 做张量积，可以得到 $|\downarrow ,k⟩$. 为了得到物理的态，我们把 BRST 荷 $Q$ 作用在上面。我们可以证明 $Q|\downarrow ,k⟩=0$ 的要求给出了在壳条件 $L_0-1=0$.这个是快子态。第一激发态如下 ${\xi }_1$ 和 ${\xi }_2$ 是常数，${\varsigma }_{\mu }$ 是一个有 26 个分量的矢量。因为第一激发态是无质量的。所以它有 24 个独立的分量。为了去掉多余的自由度，我们创造一个满足 $Q|\psi ⟩=0$ 的物理态。我们可以证明 $Q|\psi ⟩=0$ 对参数进行了一些限制。有 26 个正模的态和 2 个负模的态。我们可以引入一些约束来去掉负模的态。第一个约束是取 $p\cdot \varsigma =0$ 以及 ${\xi }_1=0$.这可以把负模的态去掉。同时 $p^2=0$,这告诉我们这是一个无质量的态。我们有量纲零模的态 这些态跟物理的态是正交的。去掉它们给了我们一个 24 自由度的态。

无鬼定理

　　 无鬼定理的叙述如下： 如果时空维数是 $D=26$，那么负模的态会被自动消去。