AdS/CFT 对偶

贡献者： 周思益

　　 AdS/CFT 对偶这个概念起源于超弦理论。超弦理论是统一自然界四大相互作用力的头号选手。这四种相互作用力分别是强相互作用力，弱相互作用力，电磁相互作用力和引力。

　　 AdS/CFT 的具体陈述是： 强耦合的 4 维规范理论=5 维 AdS 空间中的引力理论

　　 AdS/CFT 说明了四维空间的理论和五维空间的理论是相互联系着的。由此可见，AdS/CFT 常常被称为全息理论。在光学的全息照相理论中，三维的物体可以在二维的平面上成一个全息相。同样的道理，全息理论把一个五维的理论和四维的理论联系在了一起。

　　 规范理论能描述强，弱，电磁相互作用，但不能描述引力。比方说，电磁力可以由 U（1）规范理论描述，强力可以由 U（3）规范理论，也就是我们说的量子色动力学，也就是 QCD 来描述。这三种力背后的理论都是规范理论。但是要对强耦合的规范理论进行具体的计算是非常困难的事情。当耦合非常强的时候，我们对这个理论就还不够了解。但是我们可以换一种思路。可以试着把这个强耦合的问题转化成一个弯曲空间中的弱耦合问题进行研究。我们一般会考虑转化成 AdS 时空中的一个问题来进行研究。

　　 AdS 时空也就是所谓的 Anti de Sitter（反德西特）时空。球是一个具有常数的正曲率的球面空间。与此对应的 AdS 空间是一个具有常数负曲率的时空。De Sitter（德西特）是一个荷兰的天文学家。在 1917 年，他找到了爱因斯坦方程的一个常数正曲率的解，也就是我们常说的 de Sitter（德西特）空间。这就是解释了为什么常数负曲率的时空被称之为反德西特空间了。AdS 时空有一个很自然定义的空间的边界。我们的规范理论就存在于这个边界之上。

　　 一般来说，对偶的意思是，两个理论看上去很不一样，但是内在却有联系甚至是完全等价的。在 AdS/CFT 对偶里面，规范理论和引力理论看起来非常不一样，甚至是这两个理论所处的时空也完全不同。但是，在对偶里面，一个理论是弱耦合，另一个理论是强耦合。这会导致两种结果：

　　 1.强弱对偶解释了为什么两个表面上看起来并不相同的理论在对偶下是等价的。当规范理论是强耦合的时候，再去使用弱耦合的规范理论相同的量就不妥当了。我们应该用另外的量去描述这个理论。对偶建议我们在弱耦合的引力理论中寻找合适的量。

　　 2.对偶让两个完全不同的理论联系在了一起。这在概念上非常有趣，并且在实际应用上也非常有价值。因为即使规范理论是强耦合的，我们可以把这个规范理论对偶到弱耦合的引力理论来研究，这让分析更简便一些。

　　 以上适用于零温的情况。在有限温度的情况下，对偶的表述应该修改为：有限温度下强耦合的规范理论=AdS 黑洞的引力理论

　　 在引力理论里面出现了黑洞，这是由于黑洞也是一个热力学系统。由于霍金辐射，黑洞具有温度。所以我们可以用有限温度的 AdS/CFT 去分析非平衡现象。

　　 利用黑洞，我们可以看出全息原理，也就是说为什么一个五维理论能够和四维的场论是等价的。对于一个优先温度的系统，黑洞具有熵的概念。但是黑洞的熵是正比于视界面积的。这个和通常热力学与统计物理里面讲的普通物质的熵正比于体积是完全不同的。但是五维的面积事实上是四维的体积。这预示着如果一个黑洞能被四维的场论所描述，这个黑洞一定处在五维的时空。

　　 如果我们把上面两个陈述写得更明确：AdS/CFT 说明，规范场论和 AdS 空间的引力理论的生成函数是相等的

　　 AdS/CFT 对偶让我们能够利用 AdS 时空去分析强耦合的规范理论。然而，AdS/CFT 对偶中的规范理论和我们实际上处理的强耦合的 $SU(3)$ 理论还是有一些不同之处的。这些不同之处在于，首先，AdS/CFT 通常考虑 $SU(N_c)$ 规范理论。在这样的理论下，$N_c$ 是一个参数。我们一般会研究所谓的大 $N_c$ 极限。

　　 其次，AdS/CFT 通常考虑的是超对称的规范理论。一个特殊的例子就是 N=4 的超杨米尔斯理论和 AdS 空间的超弦理论的对偶。这里 N=4 说的是这个理论所包含的的对称性的数量。这个理论也具有标度不变性，因为这个理论没有有量纲的参数。此外，这个理论也有更大的对称性，我们称之为共形不变性。共形不变性包含了庞加莱不变性，标度不变性和特殊共形不变性。这样的理论我们把它叫做共形场论，也就是 CFT。这就是为什么这个对偶被称之为 AdS/CFT。

　　 但是 AdS/CFT 对偶的应用不仅仅局限于 CFT 理论。我们也可以讨论一些不具有共形对称性的理论。所以 AdS/CFT 理论的这个名字仅仅是由于历史原因。我们可以选取一些规范理论并且寻找另外一个对应的引力理论。但是一般来说，我们都会考虑在轴向无穷的时候趋于 AdS 时空的那种时空背景。

　　 由于这个名称的适用范围太窄了。有一些其他的名称可以用来讨论适用范围更广的情况。比如说全息原理，规范/引力对偶。但是如果我们把 AdS/CFT 推广到不是 QCD 的场论的时候，规范/引力对偶这样的名字也不准确了。有的人也会把 AdS/CFT 称为规范/弦理论对偶。这个名字是准确的，因为跟规范场论对偶的确实是弦理论。

　　 用 AdS/CFT 来分析规范理论并不是非常实际的。但是这个对于解析计算的领域确实是这样的。场论里头强耦合的问题非常多，但是只有很少的情况有解析计算的方法和能够求解的模型被提出来。但是这些例子对于我们场论的理解是至关重要的。这些方法都是非常有价值的。虽然这些方法的适用范围非常窄。我们可以把 AdS/CFT 看作这些方法中的一种。

　　 最后我强调一下，虽然已经有很多证据支持 AdS/CFT 了，但是 AdS/CFT 还没有被证明，仅仅是一个猜想。