量子比特

                     

贡献者: ASAHI

预备知识 量子力学基本原理

   在经典信息学中,一个比特(bit)代表着一个取值为 0 或者 1 的随机变量。比如一个电容器的状态可以离散表示为一个比特。当电容器处于高电平的时候,我们将其状态记为 1,否则则记为 0。在基于经典物理的信息论中,我们认为 0 和 1 这两种状态是可以被准确无误地区分开的。

   在量子信息处理中,量子比特(qubit)是比特这个概念的量子对应。它描述了一个由 $ \left\lvert 0 \right\rangle , \left\lvert 1 \right\rangle $ 表示的二能级量子系统的状态。我们仍然希望两种 “量子状态” 是可以被准确无误地区分开的,这自然要求着 $ \left\langle 0 \middle| 1 \right\rangle =0$。也就是说,$ \left\lvert 0 \right\rangle , \left\lvert 1 \right\rangle $ 张成了一个二维希尔伯特空间。

   和经典比特不同的是,量子比特可以处于两种状态的叠加态上。也就是说,一个一般的量子比特可以处在状态

\begin{equation} \left\lvert \psi \right\rangle =a \left\lvert 0 \right\rangle +b \left\lvert 1 \right\rangle ~,\quad a,b\in\mathbb{C}~,\quad |a|^2+|b|^2=1~. \end{equation}
在 $\{ \left\lvert 0 \right\rangle , \left\lvert 1 \right\rangle \}$ 基的测量下,有 $|a|^2$ 的概率得到状态 0,有 $|b|^2$ 的概率得到状态 1。

   我们目前讨论的全部都是纯态,这相当于是在说,系统的信息已经完全被掌握了(在经典物理中,这代表着系统处于相空间中的一个点)。但是即使我们掌握了系统的全部信息,伴随我们的测量仍然会出现随机性。这也是量子力学和经典世界很不一样的地方。

1. 物理实现

   有很多种不同的物理系统都可以实现量子比特。最简单的例子是自旋-1/2 系统,它自然带有一个二维希尔伯特空间。不那么平凡的例子是光子的偏振自由度。虽然光子是自旋-1 的系统,但是因为其没有静止质量,纵波方向的自由度被禁止。因此其偏振只能有两个取值,因此也可以作为量子比特的载体。此外,即使系统有着多于两个能级,比如很多类型的原子和介观量子电路,只要我们只考虑其中的两个能级,并保证有办法确定系统具体处在什么能级上,那么也可以将其作为量子比特的载体。

   本部分不会花过多篇幅来讨论实际的物理载体,但是需要强调的是,量子信息科学并不是建立在抽象数学上的空中楼阁,而是有着扎实的物理根基。

2. 布洛赫(Bloch)球表示

   我们来数一数一个量子比特有多少自由的(实数)参数。$a,b$ 各有两个参数,$|a|^2+|b|^2=1$ 构成一个约束条件,看起来有三个约束,但是由于量子态的全局相位可以忽略,因此又会少一个自由度。因此描述一个量子比特只需要两个实数参数就够了。

   根据归一化条件,一个一般的量子比特的描述也可以用

\begin{equation} \left\lvert \psi \right\rangle =e^{i\alpha}\left(\cos\frac{\theta}{2} \left\lvert 0 \right\rangle +\sin\frac{\theta}{2}e^{i\phi} \left\lvert 1 \right\rangle \right)~ \end{equation}
来表示。

   由于全局相位 $\alpha$ 并不重要,因此我们总可以使用 $\theta\in[0,\pi]$ 和 $\phi\in[0,2\pi]$ 来表示一个任意的量子态。

   可以看到在 Bloch 球表示当中,$\theta$ 和 $\phi$ 刚好就是 Bloch 球上的球坐标。也就是说,任意一个量子比特所处的态都位于 Bloch 球面上。

图
图 1:量子比特的 Bloch 球表示

   容易验证,当 Bloch 球上的两个量子态正交时,它们在球面上的点的连线会过球心。这样的点对被称为对径点对。这些点对中最重要的有三对,它们分别对应着 $z,x,y$ 三个坐标轴与球面的交点:

\begin{equation} \left\lvert 0 \right\rangle , \left\lvert 1 \right\rangle ;\quad \left\lvert \pm \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}( \left\lvert 0 \right\rangle \pm \left\lvert 1 \right\rangle );\quad \left\lvert \pm i \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}( \left\lvert 0 \right\rangle \pm i \left\lvert 1 \right\rangle )~. \end{equation}

   另一个重要的性质是,Bloch 球面上方向 $\hat{n}=(\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\theta)$ 所对应的量子态 $\cos\frac{\theta}{2} \left\lvert 0 \right\rangle +\sin\frac{\theta}{2}e^{i\phi} \left\lvert 1 \right\rangle $,刚好是矩阵 $\hat{n}\cdot\vec{\sigma}$ 本征值为 $+1$ 的本征态。而对径点 $\sin\frac{\theta}{2} \left\lvert 0 \right\rangle -\cos\frac{\theta}{2}e^{i\phi} \left\lvert 1 \right\rangle $ 则是 $\hat{n}\cdot\vec{\sigma}$ 本征值为 $-1$ 的本征态。这一结论将会在单比特量子门中有重要应用。

   我们在这里先不讨论混态的情况,并将其放到量子系综以及量子态层析的章节。

3. 高维量子比特

   如果不加说明,量子比特都指代的是包含两个能级的量子系统的状态,不过在一些特殊情况下,我们也可以考虑更加高维的量子比特。为了做到这点只需要将希尔伯特空间的维度推广到 $d$ 维。

   当 $d=3$ 时,我们称此时的量子比特为 qutrit,在 $d$ 为任意大于等于 2 的正数时,我们称此时的量子比特为 qudit。

4. 多个量子比特

预备知识 张量积

   单个量子比特构成了量子信息的基本单元。在更加一般的量子信息处理任务中,我们往往需要处理 $n$ 个不同的量子比特。复合系统的原理告诉我们,如果系统由两个子系统 $A,B$ 所构成,那么这个系统的希尔伯特空间由子系统希尔伯特空间的张量积 $\mathcal{H}_{AB}=\mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B$ 描述。这保证了我们可以合理地描述多个量子比特的量子态。

   如果系统含有 $n$ 个量子比特,并且记录第 $k$ 个量子比特对应的系统的基矢为 $\{ \left\lvert 0 \right\rangle _k, \left\lvert 1 \right\rangle _k\}$,那么1$$ |\psi\rangle=\sum_{j_1, j_2, \ldots, j_n \in\{0,1\}} \alpha_{j_1 j_2 \ldots j_n}\left|j_1\right\rangle_1 \otimes\left|j_2\right\rangle_2 \otimes \cdots \otimes\left|j_n\right\rangle_n~, $$其中 $\alpha_{j_1j_2\ldots j_n}$ 是复数而且满足归一化条件 $\sum_{j_1j_2\ldots j_n}|a_{j_1j_2\ldots j_n}|^2=1$。

   在不引起歧义的情况下,我们往往会将多比特空间的基矢量简记为$$\left|j_1\right\rangle_1 \otimes\left|j_2\right\rangle_2 \otimes \cdots \otimes\left|j_n\right\rangle_n\to \left\lvert j_1j_2\ldots j_n \right\rangle ~. $$

   张量积的一个重要特性是:$\mathcal{H}_{AB}$ 中的态 $ \left\lvert \psi \right\rangle _{AB}$ 不一定能够写作 $\mathcal{H}_A$ 和 $\mathcal{H}_B$ 中的态的张量积。如果一个两比特纯态满足这个性质,那么我们称这个态是两比特纠缠态。

习题 1 

   证明两比特量子态$$ \left\lvert \Phi^{\pm} \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}( \left\lvert 00 \right\rangle \pm \left\lvert 11 \right\rangle )~,\quad \left\lvert \Psi^{\pm} \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}( \left\lvert 01 \right\rangle \pm \left\lvert 10 \right\rangle )~$$ 都是两比特纠缠态。

   纠缠在信息的角度代表着不平凡的量子关联,在后面的章节中我们将会详细地讨论这件事情。


1. ^ 这里用到了一个隐含假设,那就是每个量子比特对应的系统都是可编号、可区分的。这并不与量子力学中的全同性假设矛盾。比如在定域系统等体系中,我们仍然可以对不同的量子模式进行区分。


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