纯滚动

贡献者：なりもと; addis

预备知识　刚体定轴转动

1. 纯滚动

　　接触面之间没有相对滑动的滚动称为纯滚动，或称无滑动滚动。对于纯滚动的刚体，与接触面相接触的点保持静止。以质量分布均匀的球在水平面上运动为例，如图 1

图 1：纯滚动

　　应该满足 $v_P= \boldsymbol{\mathbf{0}} $，并且 P 点处的切向加速度为 0。

2. 纯滚动的运动学判据

　　对于纯滚动的物体，有一定的约束条件。（这里讨论的是如球、圆柱之类的圆形刚体）

\begin{equation} \begin{aligned} v_C&=R\omega~,\\ a_C&=R\beta~. \end{aligned} \end{equation}

其中，$v_C,a_C$ 分别是质心的速度和加速度大小， $R$ 是半径， $\omega,\beta$ 分别是在质心参考系下的转动角速度和角加速度。

3. 纯滚动中摩擦力不做功

　　假设图 1 中的刚体向前位移了 $\mathrm{d} \boldsymbol{\mathbf{x}} $，角位移为 $\mathrm{d} \boldsymbol{\mathbf{\theta}} $，刚体所受的摩擦力为 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} $，那么摩擦力做的功可以分为两部分：一部分是 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} $ 沿 $\mathrm{d} \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 做的功，另一部分是 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} $ 的力矩沿 $ \boldsymbol{\mathbf{\theta}} $ 做的功

\begin{equation} \begin{aligned} W&= \boldsymbol{\mathbf{f}} \cdot\mathrm{d} \boldsymbol{\mathbf{x}} +( \boldsymbol{\mathbf{R}} \times \boldsymbol{\mathbf{f}} )\cdot\mathrm{d} \boldsymbol{\mathbf{\theta}} \\ &=-f\mathrm{d} x+fR\mathrm{d} \theta~, \end{aligned} \end{equation}

注意到 $\mathrm{d} x=R\mathrm{d} \theta~.$

　　于是

\begin{equation} W=f(-\mathrm{d} x+R\mathrm{d} \theta)=0~. \end{equation}

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