纯滚动

             

预备知识 刚体定轴转动 转动惯量

1. 纯滚动

   接触面之间没有相对滑动的滚动称为纯滚动,或称无滑动滚动. 对于纯滚动的刚体,与接触面相接触的点保持静止.以质量分布均匀的球在水平面上运动为例,如图 1

图
图 1:纯滚动

   应该满足 $v_P= \boldsymbol{\mathbf{0}} $,并且 P 点处的切向加速度为 0.

2. 纯滚动的运动学判据

   对于纯滚动的物体,有一定的约束条件.(这里讨论的是如球、圆柱之类的圆形刚体)

\begin{equation} \begin{aligned} v_C&=R\omega\\ a_C&=R\beta \end{aligned} \end{equation}
其中,$v_C,a_C$ 分别是质心的速度和加速度大小, $R$ 是半径, $\omega,\beta$ 分别是在质心参考系下的转动角速度和角加速度.

3. 纯滚动中摩擦力不做功

   假设图 1 中的刚体向前位移了 $\mathrm{d} \boldsymbol{\mathbf{x}} $,角位移为 $\mathrm{d} \boldsymbol{\mathbf{\theta}} $,刚体所受的摩擦力为 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} $,那么摩擦力做的功可以分为两部分:一部分是 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} $ 沿 $\mathrm{d} \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 做的功,另一部分是 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} $ 的力矩沿 $ \boldsymbol{\mathbf{\theta}} $ 做的功

\begin{equation} \begin{aligned} W&= \boldsymbol{\mathbf{f}} \cdot\mathrm{d} \boldsymbol{\mathbf{x}} +( \boldsymbol{\mathbf{R}} \times \boldsymbol{\mathbf{f}} )\cdot\mathrm{d} \boldsymbol{\mathbf{\theta}} \notag\\ &=-f\mathrm{d} x+fR\mathrm{d} \theta \end{aligned} \end{equation}
注意到 $\mathrm{d} x=R\mathrm{d} \theta$

   于是

\begin{equation} W=f(-\mathrm{d} x+R\mathrm{d} \theta)=0 \end{equation}

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