泊松分布

贡献者： addis

预备知识　自然对数底（简明微积分），随机变量、概率密度函数

　　在一段时间内，若一个事件在一段时间内的任意时刻都有均等的几率发生，且发生次数不限，那么在这段时间内发生 $k$ 次的概率为

\begin{matrix} (1) & f (λ, k) = \frac{e^{- λ} λ^{k}}{k!} (k = 0, 1, 2, \dots) . \end{matrix}

其中

λ

是一个常参数，该分布的平均值和方差都是

λ

。具体而言，若在一段极小时间

Δ t

内发生的概率为

Δ P

，那么令常数

\begin{matrix} (2) & α = lim_{Δ t \to 0} Δ P / Δ t . \end{matrix}

若考察的时长为

T

，那么

\begin{matrix} (3) & λ = α T . \end{matrix}

1. 平均值和方差的推导

未完成：补充完整

证明方差需要使用

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{k^{2} λ^{k}}{k!} & = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(k + 1) λ^{k + 1}}{k!} = λ \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(k + 1) λ^{k}}{k!} \\ = λ \frac{d}{d λ} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{λ^{k + 1}}{k!} = λ \frac{d}{d λ} (λ e^{λ}) = λ (λ + 1) e^{λ} . \end{aligned} \end{matrix}

2. 泊松分布的推导

　　若 $d P / d t = α$ 。令 $λ = α T$ ，把 $[0, T]$ 划分成许多小时间段 $Δ t$ ，那么在时刻 $t$ 也就是第 $t / Δ t + 1$ 时间段发生第一次的概率为

\begin{matrix} (5) & Δ P = lim_{Δ t \to 0} (1 - α Δ t)^{t / Δ t} α Δ t = {[lim_{Δ t \to 0} (1 - α Δ t)^{1 / (- α Δ t)}]}^{- α t} α Δ t = e^{- α t} α Δ t . \end{matrix}

所以第一次出现的时间分布为

\begin{matrix} (6) & f (t) = α e^{- α t}, \end{matrix}

在时间

[0, T]

内不发生的概率为

\begin{matrix} (7) & P_{0} (T) = \int_{T}^{\infty} f (t) d t = e^{- λ}, \end{matrix}

例如一半可能性不发生的时间为

T_{1 / 2} = \ln 2 / α

。

　　在时间 $[0, T]$ 内发生一次的概率为

\begin{matrix} (8) & P_{1} (T) = \int_{0}^{T} f (t^{'}) P_{0} (T - t^{'}) d t^{'} = λ e^{- λ} . \end{matrix}

即假设事件在

t^{'}

时刻发生一次，在接下来的长度为

T - t^{'}

的时间段内不发生。

　　在时间 $[0, T]$ 内发生两次的概率为

\begin{matrix} (9) & P_{2} (T) = \int_{0}^{T} f (t^{'}) P_{1} (T - t^{'}) d t^{'} = \frac{λ^{2}}{2} e^{- λ} . \end{matrix}

同理递归可得

\begin{matrix} (10) & P_{k} (T) = \int_{0}^{T} f (t^{'}) P_{k - 1} (T - t^{'}) d t^{'}, \end{matrix}

\begin{matrix} (11) & P_{k} (T) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ} . \end{matrix}

证毕。

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。