贡献者： hfb25
我们从最常见的两个全序集开始，即 $(\mathbb{Q};\leq),(\mathbb{R};\leq)$。我们知道它们可以表示在数轴上，如下图。
未完成：缺少图。
直观上，有理数集密集在数轴上，实数集则填满了整个数轴。在数学上，我们分别称之为稠密性和完备性。
1.（序）稠密性
如何严格定义稠密性呢？不妨以自然数和有理数为例。
我们说自然数集是离散的，因为两个相邻的自然数之间不能有其他自然数，所以是有 “空隙” 的。比如不存在一个自然数既大于 3 又小于 4。从数轴上看，自然数集是一系列零散的点。
那么对于有理数呢？有理数集应该是稠密的，这符合我们的直观。当我们想进行类似于自然数的讨论时，一个问题就出现了：不存在两个相邻的有理数。比如对于 0 和 1，$\frac{1}{2}$ 就在它们之间，因此 0 和 1 不相邻。实际上，对任何两个有理数都是如此。仔细一想，这不就反映了稠密的本质吗？
因此，我们有如下的定义。
定义 1 （序）稠密性
如果偏序集 $(A;\leq)$ 满足对任意 $a,b\in A$，存在 $c\in A$ 使 $a\leq c\leq b$，则称 $(A;\leq)$ 是（序）稠密的。
如果偏序集 $(A;\leq)$ 的一个非空子集 $B$ 满足对任意 $a,b\in A$，且 $a\neq b$，存在 $c\in B$ 使 $a\leq c\leq b$，则称 $B$ 在 $A$ 中稠密，或称 $B$ 是 $A$ 的稠密子集。
例 1
$(\mathbb{Q};\leq),(\mathbb{R};\leq)$ 是稠密的，且 $\mathbb{Q}$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个稠密子集。
注意对于 $\mathbb{Q}$ 和 $\mathbb{R}$ 而言，当 $a\leq b$ 时总有 $a\leq\frac{a+b}{2}\leq b$。
此外由实数的阿基米德性可推出 $\mathbb{Q}$ 在 $\mathbb{R}$ 中稠密。1
例 2
$\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ 按字典序稠密。一般地，对于两稠密的偏序集，其积按字典序稠密。
例 3
$\mathbb{C}$ 按如下的偏序稠密：
$a+b \mathrm{i} \leq c+d \mathrm{i} \Longleftrightarrow a\leq c,b\leq d.$
通常我们只讨论全序集的稠密性。
2. 上、下界与上、下确界
实际上，有理数与实数集是有区别。如果仔细思考，会发现有理数也是有 “空隙” 的，比如，$\sqrt{2}$ 不是无理数。如果学过数列极限，这种” 空隙” 就是所谓的柯西序列不收敛，但这其实有更本质的原因。
为此，我们引入下面的概念。
未完成：与 “上确界和下确界” 的文章进行整合。
定义 2 上、下界
在全序集 $(A;\leq)$ 中，$B$ 是 $A$ 的非空子集，
- 元素 $M\in A$ 称为 $B$ 的一个上界，如果对任意 $b\in B$，都有 $b\leq M$。
- 元素 $m\in A$ 称为 $B$ 的一个下界，如果对任意 $b\in B$，都有 $m\leq b$。
定义 3 上、下确界
在全序集 $(A;\leq)$ 中，$B$ 是 $A$ 的非空子集，分别记 $B$ 所有上界和所有下界构成的集合为 $S$ 和 $I$。
- $S$ 的极小元（若存在）称为 $B$ 的上确界，记为 $\sup B$。
- $I$ 的极大元（若存在）称为 $B$ 的下确界，记为 $\inf B$。
习题 1
证明：对全序集 $(A;\leq)$ 的任意非空子集 $B$，$\sup B\geq\inf B$。
习题 2
证明在 $(\mathbb{R};\leq)$ 中，$a$ 是某个数集 $B$ 的上确界等价于 $a$ 是 $B$ 的上界且对任意正实数 $\eta$，均存在 $b\in B$ 使 $a-\eta< b$.
3.（序）完备性
下来我们给出完备性的定义。
定义 4 （序）完备性
全序集 $(A;\leq)$ 称为完备的，如果对任意非空集合 $B\subseteq A$，$\sup B$ 存在。
根据对偶原理，说 $\inf B$ 存在是一样的。
对于实数集而言，$\mathbb{R}$ 上的闭区间完备应视作实数集应满足的一条公理。而实际上，$\mathbb{R}$ 本身不是序完备的2。
例 4 有理数集的不完备性
考虑集合 $\{x\in\mathbb{Q}|1< x<2,x^2>2\}$，它没有下确界。
这并不代表完备性的定义有问题，因为对应的 $\{x\in\mathbb{Q}|1< x<2,x^2<2\}$ 没有上确界。
4. 完备性的拓扑视角
在此先了解序拓扑。
定义 5 序拓扑
对于偏序集 $(A;\leq)$，由开区间为基生成的拓扑称为序拓扑。
未完成：序拓扑下区间的连续性和闭区间的紧致性的证明。
1. ^ 实数的阿基米德性是指对任意正实数 $a,b$，总存在正整数 $n$ 使 $na>b$.
2. ^ 但是 $\mathbb{R}$ 是完备度量空间，这就是序完备性和度量空间完备性的区别。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。