Liapunov 稳定性（常微分方程）

贡献者： int256

预备知识　李普希茨条件

本文缺少预备知识，初学者可能会遇到困难。

　　微分方程中经常出现混沌系统，而讨论稳定性的问题直到现在都是较有难度的一件事。李雅普诺夫（Liapunov）稳定性是现在较为成熟的一套理论方法。

1. Liapunov 稳定

　　考虑微分方程组

\begin{matrix} (1) & \frac{d}{d t} x (t) = F (t, x), \end{matrix}

其中

t \in R

，

x \in D \subseteq R^{n}

，

F

在

R \times D

上连续且关于

x

满足李普希兹条件。若该方程组有解

x = φ (t)

，

t \in [t_{0}, + \infty)

。

定义 1　Liapunov 稳定

　　若 $\forall ε > 0$ ， $\exists δ > 0$ ，使得对任意满足

\begin{matrix} (2) & ‖ x_{0} - φ (t_{0}) ‖ < δ \end{matrix}

的

x_{0}

，方程组以

(t_{0}, x_{0})

为初值的解

x = x (t, t_{0}, x_{0})

在区间

[t_{0}, + \infty)

上有定义，且

\forall t \geq t_{0}

，

\begin{matrix} (3) & ‖ x (t, t_{0}, x_{0}) - φ (t) ‖ < ε, \end{matrix}

就称解

φ (t)

是（在 Liapunov 意义下）稳定的，否则称为（在 Liapunov 意义下）不稳定的。

定义 2　渐进稳定

　　假设 $x = φ (t)$ 是稳定的，且存在 $δ_{1}$ （ $0 < δ_{1} < δ$ ）使得只要

\begin{matrix} (4) & ‖ x_{0} - φ (t_{0}) ‖ < δ_{1} \end{matrix}

就有

\begin{matrix} (5) & lim_{t \to + \infty} ‖ x (t, t_{0}, x_{0}) - φ (t) ‖ = 0 \end{matrix}

则称解

x = φ (t)

是（在 Liapunov 意义下）渐近稳定的。

2. 零解的稳定性

　　实际研究过程中，对于任意一个解 $x = φ (t)$ 的研究，可以通过代换 $y = x - φ (t)$ 转化为研究方程

\begin{matrix} (6) & \frac{d}{d t} y (t) = F (t, y + φ (t)) \end{matrix}

的零解的稳定性。因为

x = φ (t)

就对应这方程的零解

y = 0

。

例 1　

　　讨论方程

\begin{matrix} (7) & \frac{d}{d t} x = C x, \end{matrix}

的零解

x = 0

的稳定性。其中

C

是一常数。

　　方程满足初始条件 $x (t_{0}) = x_{0}$ 的解是

\begin{matrix} (8) & x (t) = x_{0} \exp (C (t - t_{0})) . \end{matrix}

　　 i）当 $a < 0$ 时， $\forall ε > 0$ ，选 $δ = ε$ ，当 $| x_{0} | < δ$ 时， $\forall t \geq t_{0}$ ，

\begin{matrix} (9) & | x (t) | = | x_{0} \exp (C (t - t_{0})) | < ε \exp (C (t - t_{0})) < ε, \end{matrix}

故零解是稳定的。同时容易证明也是渐近稳定的。

　　 ii）当 $a = 0$ 时，选 $δ = ε$ 可类似的证明零解是稳定的，但由于

\begin{matrix} (10) & lim_{t \to + \infty} | x (t) | = | x_{0} | \neq 0, \end{matrix}

故并不是渐近稳定的。

　　 iii）当 $a > 0$ 时，无论 $x_{0}$ 多小，总有

\begin{matrix} (11) & lim_{t \to + \infty} | x (t) | = lim_{t \to + \infty} | x_{0} | \exp (C (t - t_{0})) = + \infty, \end{matrix}

故零解是不稳定的。

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Liapunov 稳定性（常微分方程）

1. Liapunov 稳定

定义 1 Liapunov 稳定

定义 2 渐进稳定

2. 零解的稳定性

例 1

定义 1　Liapunov 稳定

定义 2　渐进稳定

例 1　