贡献者： int256
微分方程中经常出现混沌系统，而讨论稳定性的问题直到现在都是较有难度的一件事。李雅普诺夫（Liapunov）稳定性是现在较为成熟的一套理论方法。
1. Liapunov 稳定
考虑微分方程组
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol{\mathbf{x}} (t) = \boldsymbol{\mathbf{F}} (t, \boldsymbol{\mathbf{x}} ) ~,
\end{equation}
其中 $t \in \mathbb R$，$ \boldsymbol{\mathbf{x}} \in D \subseteq \mathbb R^n$，$ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 在 $\mathbb R \times D$ 上连续且关于 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 满足李普希兹条件。若该方程组有解 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{\varphi}} (t)$，$t \in [t_0, +\infty)$。
定义 1 Liapunov 稳定
若 $\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，使得对任意满足
\begin{equation}
\Vert \boldsymbol{\mathbf{x}} _0 - \boldsymbol{\mathbf{\varphi}} (t_0)\Vert < \delta ~~
\end{equation}
的 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _0$，方程组以 $(t_0, \boldsymbol{\mathbf{x}} _0)$ 为初值的解 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{x}} (t, t_0, \boldsymbol{\mathbf{x}} _0)$ 在区间 $[t_0, +\infty)$ 上有定义，且 $\forall t \ge t_0$，
\begin{equation}
\Vert \boldsymbol{\mathbf{x}} (t, t_0, \boldsymbol{\mathbf{x}} _0) - \boldsymbol{\mathbf{\varphi}} (t) \Vert < \varepsilon ~,
\end{equation}
就称解 $ \boldsymbol{\mathbf{\varphi}} (t)$ 是（在 Liapunov 意义下）
稳定的，否则称为（在 Liapunov 意义下）
不稳定的。
定义 2 渐进稳定
假设 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{\varphi}} (t)$ 是稳定的，且存在 $\delta_1$（$0 < \delta_1 < \delta$）使得只要
\begin{equation}
\Vert \boldsymbol{\mathbf{x}} _0 - \boldsymbol{\mathbf{\varphi}} (t_0) \Vert < \delta_1 ~~
\end{equation}
就有
\begin{equation}
\lim_{t \to +\infty} \Vert \boldsymbol{\mathbf{x}} (t, t_0, \boldsymbol{\mathbf{x}} _0) - \boldsymbol{\mathbf{\varphi}} (t) \Vert = 0 ~~
\end{equation}
则称解 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{\varphi}} (t)$ 是（在 Liapunov 意义下）
渐近稳定的。
2. 零解的稳定性
实际研究过程中，对于任意一个解 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{\varphi}} (t)$ 的研究，可以通过代换 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} = \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{\varphi}} (t)$ 转化为研究方程
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol{\mathbf{y}} (t) = \boldsymbol{\mathbf{F}} (t, \boldsymbol{\mathbf{y}} + \boldsymbol{\mathbf{\varphi}} (t)) ~~
\end{equation}
的零解的稳定性。因为 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{\varphi}} (t)$ 就对应这方程的零解 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} = 0$。
例 1
讨论方程
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} x = Cx ~,
\end{equation}
的零解 $x = 0$ 的稳定性。其中 $C$ 是一常数。
方程满足初始条件 $x(t_0) = x_0$ 的解是
\begin{equation}
x(t) = x_0 \exp\left(C (t - t_0)\right) ~.
\end{equation}
i）当 $a<0$ 时，$\forall \varepsilon > 0$，选 $\delta = \varepsilon$，当 $|x_0| < \delta$ 时，$\forall t \ge t_0$，
\begin{equation}
|x(t)| = |x_0 \exp\left(C (t-t_0)\right) | < \varepsilon \exp\left(C(t-t_0)\right) < \varepsilon ~,
\end{equation}
故零解是稳定的。同时容易证明也是渐近稳定的。
ii）当 $a=0$ 时，选 $\delta = \varepsilon$ 可类似的证明零解是稳定的，但由于
\begin{equation}
\lim_{t \to +\infty} |x(t)| = |x_0| \neq 0 ~,
\end{equation}
故并不是渐近稳定的。
iii）当 $a > 0$ 时，无论 $x_0$ 多小，总有
\begin{equation}
\lim_{t \to +\infty} |x(t)| = \lim_{t \to +\infty} |x_0| \exp\left(C(t-t_0)\right) = +\infty ~,
\end{equation}
故零解是不稳定的。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。