数值积分（梯形法）

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预备知识　Matlab 的函数，定积分

　　本文介绍一种简单的梯形算法计算数值积分。如图 1 若要用梯形法计算定积分 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ ，则可将区间 $[a, b]$ 划分为 $N$ 个长度为 $h = (b - a) / N$ 的等长的小区间，区间端点从 $a$ 到 $b$ 分别为 $x_{1} = a, x_{2} = a + h, \dots, x_{N + 1} = b$ 。

图 1：梯形法数值积分

　　接下来将每个区间的被曲线围出的面积用梯形来计算，第 $i$ 个梯形面积为（两底和乘以高除以二） $[f (x_{i + 1}) + f (x_{i})] h / 2$ 。定积分约等于所有梯形面积

\begin{matrix} (1) & \int_{a}^{b} f (x) d x \approx \sum_{i}^{N} \frac{h}{2} [f (x_{i + 1}) + f (x_{i})] = h [\frac{1}{2} f (x_{1}) + \sum_{i = 2}^{N} f (x_{i}) + \frac{1}{2} f (x_{N + 1})] . \end{matrix}

显然，当

N

取越大时，右边的求和就越接近定积分。

　　这里给出 Matlab 代码

代码 1：trapezoidInt.m

% 梯形法数值积分
% f 是被积函数的函数句柄
% [a, b] 为积分区间
% N 为子区间个数
function I = trapezoidInt(f, a, b, N)
x = linspace(a, b, N+1);
y = arrayfun(f, x); % 求所有 y(i) = f(x(i))
h = (b - a)/N;
I = h*(0.5*y(1) + 0.5*y(N+1) + sum(y(2:N)));
end

　　下面来看两个例子，由算法可知，当被积函数具有 $c_{1} x + c_{2}$ 的形式时，函数曲线围成的面积可由梯形精确解算，所以即使 N 取很小也可以精确到 double 类型的精度（16 位左右）。

>> format long;
>> trapezoidInt(@(x)x, 0, 1, 4)
ans = 0.500000000000000

对其他一些函数，需要较大的

N

才能获得较高的精度。我们已知

\sin x

在

[0, π]

内的积分等于

2

，再看数值积分

>> trapezoidInt(@sin, 0, pi, 10)
ans = 1.983523537509455
>> trapezoidInt(@sin, 0, pi, 100)
ans = 1.999835503887444
>> trapezoidInt(@sin, 0, pi, 1000)
ans = 1.999998355065662
>> format short;

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