无理数（数论）

贡献者： int256

定义 1　有理数与无理数

　　能表示为互素的整数 $a$ 与 $b \neq 0$ 的比值 $a / b$ 的数称为有理数。

　　非有理数，也就是不能表示为互素整数 $a$ 与 $b \neq 0$ 的比值 $a / b$ 的数称为无理数。

定理 1　

　　 $\sqrt{2}$ 无理。

　　证明：假设若 $\sqrt{2}$ 有理，则对于 $\sqrt{2} = a / b$ ，即方程 $a^{2} = 2 b^{2}$ 有整数解，且 $(a, b) = 1$ 。而注意到等式右侧是 $2$ 的整数倍，是偶数，故 $a$ 也是偶数，即 $a = 2 c$ ，这会使得 $(2 c)^{2} = 2 b^{2}$ ，可化为 $2 c^{2} = b^{2}$ ，同样是的 $b$ 是偶数而 $a, b$ 就有公约数 $2$ ，与 $(a, b) = 1$ 矛盾！得证。

定理 2　

　　对于整数 $N$ ， $\sqrt[m]{N}$ 无理，除非 $N$ 是某整数 $n$ 的 $m$ 次方。

　　证明：仍考虑 $\sqrt[m]{N} = a / b$ ， $(a, b) = 1$ ，可化为

\begin{matrix} (1) & a^{m} = N b^{m}, (a, b) = 1, \end{matrix}

而考虑

a^{m}

的各素因子与次幂

p^{k}

，则

p^{m k} | (N b^{m})

，显然

N

不能是

p^{m k}

否则

N

就是

p^{k}

的

m

次方，这就使得总会有

p | b^{m}

从而

p | b

，从而

(a, b)

至少有

p

而不等于

1

，矛盾！故得证。

定理 3　

　　对于关于 $x$ 的首 $1$ 整系数多项式

\begin{matrix} (2) & x^{n} + c_{1} x^{n - 1} + c_{2} x^{n - 2} + \dots + c_{n} = 0, \end{matrix}

若

x_{0}

是一根，则

x

要么是整数，要么

x

就是无理数。

　　证明：我们可以假设 $c_{n} \neq 0$ ，否则可以提取出因式 $x$ 而继续重复这操作直到 $c_{n} = 0$ 。

　　此时当 $x_{0}$ 有理时，设 $x_{0} = a / b$ 且 $(a, b) = 1$ ，则可化为

\begin{matrix} (3) & a^{n} + c_{1} a^{n - 1} b + c_{2} a^{n - 2} b^{2} + \dots + c_{n} b^{n} = 0, \end{matrix}

这就说明

b | a^{n}

，于是对于任何

b

的素因子

p

都有

p | a^{m}

即

p | a

，就使得

(a, b)

至少为

p

，矛盾！故

b

无素因子，即

b = 1

，而此时

x_{0}

是整数。

　　故 $x_{0}$ 有理时必然为整数，即 $x_{0}$ 要么无理，要么是整数。证毕！

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无理数（数论）

定义 1 有理数与无理数

定理 1

定理 2

定理 3

定义 1　有理数与无理数

定理 1　

定理 2　

定理 3　