熵的宏观表达式

                     

贡献者: ACertainUser

预备知识 麦克斯韦关系,态函数

   将 $S$ 写成 $p,T$ 的函数,则

\begin{equation} \,\mathrm{d}{S} =\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_p \,\mathrm{d}{T} +\left(\frac{\partial S}{\partial p}\right)_T \,\mathrm{d}{p} ~. \end{equation}
由于 $T \,\mathrm{d}{S} =\delta Q$,所以等压过程中熵随温度的变化乘以温度就是吸热,即 $C_p=T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_p$。再由麦克斯韦关系,可以将上式化简为
\begin{equation} \,\mathrm{d}{S} =\frac{C_p}{T} \,\mathrm{d}{T} -\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p \,\mathrm{d}{p} ~, \end{equation}

   所以

\begin{equation} S=\int \left(\frac{C_p}{T} \,\mathrm{d}{T} -\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p \,\mathrm{d}{p} \right)+S_0~. \end{equation}

例 1 理想气体的熵

   由理想气体状态方程,$\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p=nR/p$。积分得

\begin{equation} S=\int \left(\frac{C_p}{T} \,\mathrm{d}{T} -\frac{nR}{p} \,\mathrm{d}{p} \right)+S_0~. \end{equation}
如果把等压热容看作是常数,那么
\begin{equation} S=C_p\ln T-nR\ln p+S_0~. \end{equation}

   由这个公式,我们可以轻松地求得在理想气体热机循环过程中系统熵的变化,通过熵的变化容易求得过程中吸热和放热的多少。


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