球套定理

贡献者： 零穹

　　 [1] 在分析学中，所谓区间套定理（定理 3 ）被广泛的应用。在度量空间理论中，本节所谓的球套定理也具有类似的作用。

　　 首先需要明确度量空间 $(X,d)$ 的球是指：以某点 $x_0\in X$ 为中心，正实数 $r\in\mathbb R^+$ 为半径的集合

　　 证明：

　　 必要性：设 $(X,d)$ 是完备的，并设 $\{B_n\}$ 是其上的任一闭球套，其中 $B_n$ 的球心为 $x_n$，半径为 $r_n$。则序列 $\{x_n\}$ 是柯西序列。事实上，当 $m>n$ 时，$d(x_m,x_n)< r_n$（根据球套的定义），而 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}r_n=0$。这就是说，任一 $\epsilon>0$，存在 $N$，只要 $n\geq N$，就有 $d(x_m,x_n)<\epsilon$，因此 $\{x_n\}$ 是柯西序列。

　　 由于完备性，$\{x_n\}$ 的极限存在，设 $x=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n$。$B_n$ 显然包含所有的点 $x_i,i\geq n$，于是 $x$ 的任一邻域都包含有 $B_n$ 的点，因而 $x\in B_n,n=1,2,\ldots$，进而 $x\in\bigcap\limits_n B_n$。即闭球套有非空的交。

　　 充分性：设 $\{x_n\}$ 是柯西序列。若能以该序列构造（通过 $\{x_n\}$ 的某一子序列）半径趋于 0 的闭球套，则由定理假设知该闭球套具有公共点。由于该公共点的每一邻域都包含从某一项 $n$ 开始的（子序列的）所有点，那么它就是（子序列的）极限点。从而 $\{x_n\}$ 收敛到该极限点。我们构造如下：

　　 在 $\{x_n\}$ 中选取这样的点 $x_{n_1}$ 作为半径为 1 的闭球 $B_1$ 的中心，使得一切 $n\geq n_1$，$d(x_n,x_{x_1})<1/2$（根据柯西序列定义 1 ）。然后在 $\{x_n\}$ 中选取 $x_{n_2}$ 作为半径为 1/2 的闭球 $B_2$ 的中心，使得 $n_2>n_1$，且对一切 $n\geq n_2$，$d(x_n,x_{x_2})<1/2^2$。以此类推，我们总是选取满足 $n_{k+1}>n_k$，且对一切 $n\geq n_{k+1}$，$d(x_n,x_{n_{k+1}})<1/2^{k+1}$ 的 $x_{n_{k+1}}$ 作为半径为 $1/2^k$ 的球 $B_{k+1}$ 的中心。由于对 $k=1,\ldots,$ 成立

　　 证毕！

[1] ^ A.H.柯尔莫哥洛夫，C.B.佛明.函数论与泛函分析初步（段虞荣等译）第七版