球套定理

贡献者：零穹

预备知识　柯西序列、完备度量空间

　　 [1] 在分析学中，所谓区间套定理（定理 3 ）被广泛的应用。在度量空间理论中，本节所谓的球套定理也具有类似的作用。

　　首先需要明确度量空间 $(X, d)$ 的球是指：以某点 $x_{0} \in X$ 为中心，正实数 $r \in R^{+}$ 为半径的集合

\begin{matrix} (1) & B_{r} (x_{0}) := B (x_{0}, r) := {x | d (x, x_{0}) \leq (o r <) r, x \in X} . \end{matrix}

若上式中是

\leq

则称为闭球，若是

<

则称为开球。

定义 1　球套

　　设 $(X, d)$ 是度量空间，序列 ${B_{n}}$ ( $B_{n} := B (x_{n}, r_{n})$ )中的每一个 $B_{i}$ 都是 $X$ 中的球。若 $B_{i + 1} \subset B_{i}, i = 1, 2, \dots$ ，则称 ${B_{n}}$ 为 $X$ 上的球套。若球套中每一球都是闭球，则球套称为闭球套；若每一球都是开球，则称为开球套。

定理 1　球套定理

　　度量空间 $(X, d)$ 是完备的充要条件是： $X$ 中半径趋于 0 的任一闭球套的有非空的交。即若 ${B_{n}}$ 是 $X$ 闭球套，且 $lim_{n \to \infty} r_{n} = 0$ ，那么 $⋂_{n} B_{n} \neq \emptyset$ 。

　　 证明：

　　 必要性：设 $(X, d)$ 是完备的，并设 ${B_{n}}$ 是其上的任一闭球套，其中 $B_{n}$ 的球心为 $x_{n}$ ，半径为 $r_{n}$ 。则序列 ${x_{n}}$ 是柯西序列。事实上，当 $m > n$ 时， $d (x_{m}, x_{n}) < r_{n}$ （根据球套的定义），而 $lim_{n \to \infty} r_{n} = 0$ 。这就是说，任一 $ϵ > 0$ ，存在 $N$ ，只要 $n \geq N$ ，就有 $d (x_{m}, x_{n}) < ϵ$ ，因此 ${x_{n}}$ 是柯西序列。

　　由于完备性， ${x_{n}}$ 的极限存在，设 $x = lim_{n \to \infty} x_{n}$ 。 $B_{n}$ 显然包含所有的点 $x_{i}, i \geq n$ ，于是 $x$ 的任一邻域都包含有 $B_{n}$ 的点，因而 $x \in B_{n}, n = 1, 2, \dots$ ，进而 $x \in ⋂_{n} B_{n}$ 。即闭球套有非空的交。

　　 充分性：设 ${x_{n}}$ 是柯西序列。若能以该序列构造（通过 ${x_{n}}$ 的某一子序列）半径趋于 0 的闭球套，则由定理假设知该闭球套具有公共点。由于该公共点的每一邻域都包含从某一项 $n$ 开始的（子序列的）所有点，那么它就是（子序列的）极限点。从而 ${x_{n}}$ 收敛到该极限点。我们构造如下：

　　在 ${x_{n}}$ 中选取这样的点 $x_{n_{1}}$ 作为半径为 1 的闭球 $B_{1}$ 的中心，使得一切 $n \geq n_{1}$ ， $d (x_{n}, x_{x_{1}}) < 1 / 2$ （根据柯西序列定义 1 ）。然后在 ${x_{n}}$ 中选取 $x_{n_{2}}$ 作为半径为 1/2 的闭球 $B_{2}$ 的中心，使得 $n_{2} > n_{1}$ ，且对一切 $n \geq n_{2}$ ， $d (x_{n}, x_{x_{2}}) < 1 / 2^{2}$ 。以此类推，我们总是选取满足 $n_{k + 1} > n_{k}$ ，且对一切 $n \geq n_{k + 1}$ ， $d (x_{n}, x_{n_{k + 1}}) < 1 / 2^{k + 1}$ 的 $x_{n_{k + 1}}$ 作为半径为 $1 / 2^{k}$ 的球 $B_{k + 1}$ 的中心。由于对 $k = 1, \dots,$ 成立

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} d (z, x_{n_{k}}) & \leq d (z, x_{n_{k + 1}}) + d (x_{n_{k}}, x_{n_{k + 1}}) \\ < 1 / 2^{k + 1} + 1 / 2^{k} \\ = 3 / 2^{k + 1} \\ < 1 / 2^{k - 1} . \end{aligned} \end{matrix}

所以上面构造的闭球序列是闭球套。因此，它们有非空的交，从而就是序列

{x_{n_{k}}}

的极限点。从而就是柯西序列

{x_{n}}

的极限。

　　 证毕！

[1] ^ A.H.柯尔莫哥洛夫，C.B.佛明.函数论与泛函分析初步（段虞荣等译）第七版

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球套定理

定义 1 球套

定理 1 球套定理

定义 1　球套

定理 1　球套定理