序数、超限数

                     

贡献者: 零穹

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预备知识 序关系

   序型是相互同构的偏序集的公共内在属性,良序集的序型称为序数,当强调良序集是无限集时,序数也称超限数。任意两个序数都是可比较的,这是本节的重点。

1. 序数

定义 1 保序映射

   设 $M,M'$ 是两偏序集,$f$ 是 $M$ 到 $M'$ 的映射。如果 $a\leq b(a,n\in M)$ 推出 $f(a)\leq f(b)$,则映射 $f$ 称为保序的。若 $f$ 是双射,同时 $f(a)\leq f(b)$ 当且仅当 $a\leq b$ 时成立,则 $f$ 称为偏序集 $M$ 与 $M'$ 的同构映射,这时也称它们相互同构

定义 2 序型、序数

   若两偏序集 $M,M'$ 相互同构,则称它们具有同一序型。良序集(定义 4 )的序型称为序数,无限的良序集的序数也称超限数

定义 3 全序集的有序和

   设 $M_1,M_2$ 时序型分别为 $\theta_1,\theta_2$ 的两个不相交的全序集,在 $M_1\cup M_2$ 中定义全序关系,其中 $M_1$ 的两个元素的序关系如同在 $M_1$ 中一样,$M_2$ 的元素的序关系如同在 $M_2$ 中一样,并且 $M_1$ 的任一元素前于 $M_2$ 的任一元素。这样的全序集称为 $M_1$ 与 $M_2$ 的有序和,记作 $M_1+M_2$,其序型称为序型 $\theta_1$ 与 $\theta_2$ 的有序和,记作 $\theta_1+\theta_2$。

定理 1 

   有限个良序集的有序和仍是良序集。

推论 1 

   序数的有序和仍是序数。

定义 4 有序积

   设 $M_1,M_2$ 是序型分别为 $\theta_1,\theta_2$ 的全序集。

定理 2 

   两个良序集的有序积仍是良序集。

推论 2 

   序数的有序积仍是序数。

2. 序数的比较


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