依测度收敛

贡献者： JierPeter

　　 我们已经知道，函数有 “逐点收敛” 和 “一致收敛” 等不同的收敛方式。逐点收敛的概念最简单，但是性质不太好；一致收敛的性质就非常好。

　　 现在我们有了外测度的概念，就可以构造一种新的收敛方式。

1. 依测度收敛

　　 简单来说，依测度收敛就是指任取一个精度范围 $ϵ$，$f_i(x)$ 偏离 $f(x)$ 超过精度范围的 $x$ 称为 “不听话” 的点，那么随着 $i$ 增大，不听话的点构成的集合的外测度趋于零。

　　 类似地，一致收敛可以简单解释为：任取一个精度范围 $ϵ$，$f_i(x)$ 偏离 $f(x)$ 超过精度范围的 $x$ 称为 “不听话” 的点，那么随着 $i$ 增大，不听话的点构成的集合趋于空集。

　　 发现没？简单说法里，一致收敛和依测度收敛的简单解释，只有最后一句有差别。从这个差别可以容易看出，一致收敛能推出依测度收敛。更进一步，几乎处处一致收敛也能推出依测度收敛。

　　 我们把上述讨论总结成以下定理：

　　 在讨论依测度收敛的相关问题的时候，“几乎处处” 和 “处处” 可以看成是等价的，因为这两个限定词在测度意义上没有任何区别。

　　 实际上，几乎处处收敛也是能推出依测度收敛的：

　　 证明：

　　 只需讨论 $f$ 在 $E$ 上恒等于 $0$ 的情况。

　　 任意固定一个 $ϵ>0$。

　　 由 Egoroff 定理，对于任意 $\delta >0$，存在可测集 $E_{\delta }$，使得其测度小于 $\delta$ 且 $\{f_n\}$ 在 $E-E_{\delta }$ 上一致收敛到 $f=0$。

　　 因此，存在正整数 $N_{\delta }$，使得只要正整数 $n>N_{\delta }$，就有 $|f_n(x)|<ϵ$ 在 $E-E_{\delta }$ 上处处成立。

　　 因此，只需要取 ${\delta }_k=1/2^k$¹，得到各 $N_{{\delta }_k}$（记 $N_{{\delta }_k}=n_k$），那么 $|f_n(x)|<ϵ$ 在 $E-E_{{\delta }_k}$ 上处处成立，其中 $n>n_k$ 且 $\mathrm{m}{E}_{{\delta }_k}<{\delta }_k$。

　　 因此，当 $n>n_k$ 时总有 $\mathrm{m}\{x\in E||f_n(x)|\ge ϵ\}\le \mathrm{m}{E}_{{\delta }_k}<{\delta }_k$。故

　　 即得证。

　　 证毕。

　　 反过来，依测度收敛是不能推出几乎处处收敛的。

　　 当我们想到函数列的收敛时，最自然的想法就是处处收敛。现在我们知道了，依测度收敛比处处收敛还弱，例 1 甚至构造了一个处处不收敛但依然依测度收敛的例子。

2. Riesz 定理

　　 但依测度收敛也不是一无是处，它依然具有以下非常有用的性质：

　　 证明：

　　 取一列单调递减趋近于零的正数 $\{{ϵ}_k\}$。由于 $f_n\stackrel{m}{\to }f$，故对于每个 ${ϵ}_k$，总存在一个 $N_k$ 使得只要 $n\ge N_k$，就有 $\mathrm{m}(\{x\in E||f_n-f|\ge {ϵ}_k\})<1/2^k$。以这些 $N_k$ 为编号，构建子序列 $\{f_{N_k}\}$。

　　 为方便，记 $\{x\in E||f_{N_k}(x)-f(x)|\ge {ϵ}_k\}=S_k$。

　　 如果 $x\in E$ 是 $f_{N_k}$ 的不收敛点，那么按照构造规则，它必然在每一个 $\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{S}_k$ 中。而由于 $\mathrm{m}{S}_k<1/2^k$，可知 $\mathrm{m}\left(\bigcup _{k=n}^{\mathrm{\infty }}{S}_k\right)\le \sum _{k=n}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{m}{S}_k<1/2^{n-1}$。

　　 因此 $\{f_{N_k}\}$ 中不收敛于$f$ 的点构成的集合 $\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{k=n}^{\mathrm{\infty }}{S}_k$ 是一个零测集。定理得证。

　　 证毕。

　　 最后，我们以一个习题作为本节内容的收尾：

1. ^ 或者任意趋于零的正数列也行。