贡献者： JierPeter
我们已经知道，函数有 “逐点收敛” 和 “一致收敛” 等不同的收敛方式。逐点收敛的概念最简单，但是性质不太好；一致收敛的性质就非常好。
现在我们有了外测度的概念，就可以构造一种新的收敛方式。
1. 依测度收敛
定义 1 依测度收敛
设 $E\subseteq \mathbb{R}^n$ 是可测集，$f$ 和 $f_i$ 都是其上的几乎处处有限的可测函数，其中 $i$ 取遍全体正整数。如果对于任意固定的 $\epsilon>0$，有
\begin{equation}
\lim\limits_{i\to\infty} \operatorname {m}\{x\in E| \left\lvert f_i(x)-f(x) \right\rvert \geq\epsilon\}=0~.
\end{equation}
则称函数列 $\{f_i\}$
依测度收敛到函数 $f$，记为 $f_i\overset{ \operatorname {m}}\to f$（于 $E$）。
简单来说，依测度收敛就是指任取一个精度范围 $\epsilon$，$f_i(x)$ 偏离 $f(x)$ 超过精度范围的 $x$ 称为 “不听话” 的点，那么随着 $i$ 增大，不听话的点构成的集合的外测度趋于零。
类似地，一致收敛可以简单解释为：任取一个精度范围 $\epsilon$，$f_i(x)$ 偏离 $f(x)$ 超过精度范围的 $x$ 称为 “不听话” 的点，那么随着 $i$ 增大，不听话的点构成的集合趋于空集。
发现没？简单说法里，一致收敛和依测度收敛的简单解释，只有最后一句有差别。从这个差别可以容易看出，一致收敛能推出依测度收敛。更进一步，几乎处处一致收敛也能推出依测度收敛。
我们把上述讨论总结成以下定理：
定理 1
设 $E\subseteq \mathbb{R}^n$ 是测度有限的可测集，$f$ 和各 $f_i$ 都是其上的几乎处处有限的可测函数，其中 $i$ 取遍全体正整数。如果 $f_i$一致收敛到 $f$a. e. ，那么 $f_i\overset{ \operatorname {m}}\to f$。
在讨论依测度收敛的相关问题的时候，“几乎处处” 和 “处处” 可以看成是等价的，因为这两个限定词在测度意义上没有任何区别。
实际上，几乎处处收敛也是能推出依测度收敛的：
定理 2
设 $E\subseteq \mathbb{R}^n$ 是测度有限的可测集，$f$ 和各 $f_i$ 都是其上的几乎处处有限的可测函数，其中 $i$ 取遍全体正整数。如果 $f_i\to f $a. e.，那么 $f_i\overset{ \operatorname {m}}\to f$。
证明：
只需讨论 $f$ 在 $E$ 上恒等于 $0$ 的情况。
任意固定一个 $\epsilon>0$。
由 Egoroff 定理，对于任意 $\delta>0$，存在可测集 $E_\delta$，使得其测度小于 $\delta$ 且 $\{f_n\}$ 在 $E-E_\delta$ 上一致收敛到 $f=0$。
因此，存在正整数 $N_\delta$，使得只要正整数 $n>N_\delta$，就有 $ \left\lvert f_n(x) \right\rvert <\epsilon$ 在 $E-E_\delta$ 上处处成立。
因此，只需要取 $\delta_k=1/2^k$1，得到各 $N_{\delta_k}$（记 $N_{\delta_k}=n_k$），那么 $ \left\lvert f_{n}(x) \right\rvert <\epsilon$ 在 $E-E_{\delta_k}$ 上处处成立，其中 $n>n_k$ 且 $ \operatorname {m}E_{\delta_k}<{\delta_k}$。
因此，当 $n>n_k$ 时总有 $ \operatorname {m}\{x\in E| \left\lvert f_n(x) \right\rvert \geq\epsilon\}\leq \operatorname {m}E_{\delta_k}<\delta_k$。故
\begin{equation}
\lim\limits_{n\to 0} \operatorname {m}\{x\in E| \left\lvert f_n(x) \right\rvert \geq\epsilon\}=0~.
\end{equation}
即得证。
证毕。
反过来，依测度收敛是不能推出几乎处处收敛的。
例 1
考虑区间 $[0, 1)$ 上的函数列 $\{f_n\}$。为方便表述，定义一个取小数函数$D(x)$，即对于实数 $x$，$D(x)=x-[x]$ 是 $x$ 的小数部分。易见 $D(x)\in [0, 1)$ 恒成立。
将取小数函数应用到区间上，记 $D([a, b])=\{D(x)|x\in[a, b]\}$。比如，$D([0.5, 1.1])=[0, 0.1]\cup[0.5, 1)$。为了方便想象，你也可以认为取小数函数就是把整个实数轴都卷成周长为 $1$ 的一个圆环。
定义数列 $\{a_k\}$，其中 $a_0=0$，$a_k=a_{k-1}+1/k-1/2^k$。再定义数列 $\{b_k\}$，其中 $b_k=a_{k+1}+1/2^{k+1}$。你可以试着写出这两个数列的前几项，看看它们都在什么位置，这有助于理解接下来的构造。
取区间列 $[a_k, b_k]$，则对于任意 $x\in[0, 1)$，总存在无限多个 $k$，使得 $x\in D([a_k, b_k])$。这是因为 $a_k$ 趋近于无穷，导致 $D(a_k)$ 在 $[0, 1)$ 中反复循环；而 $b_k>a_{k+1}$，使得区间列 $\{[a_k, b_k]\}$ 覆盖了所有正数，或者说在每个循环中 $D([a_k, b_k])$ 都能覆盖整个 $[0, 1)$。
又因为 $ \operatorname {m}[a_k, b_k]=1/k$，知 $\lim\limits_{k\to \infty} \operatorname {m}[a_k, b_k]=0$。
现在在 $[0, 1)$ 上定义函数列 $\{f_k(x)\}$，其中当 $x\in D([a_k, b_k])$ 时 $f_k(x)=1$，其余情况均有 $f_k(x)=0$。再定义 $f$，其在 $[0, 1)$ 上恒为 $0$。
则按照上述构造，$f_k$ 依测度趋近于 $f$，但是它又处处不趋近于 $f$。
当我们想到函数列的收敛时，最自然的想法就是处处收敛。现在我们知道了，依测度收敛比处处收敛还弱，例 1 甚至构造了一个处处不收敛但依然依测度收敛的例子。
2. Riesz 定理
但依测度收敛也不是一无是处，它依然具有以下非常有用的性质：
定理 3 F. Riesz 定理
如果在可测集 $E$ 上 $f_n\overset{m}\to f$，则必存在 $\{f_n\}$ 的子序列 $\{f_{n_k}\}$，使之几乎处处收敛于 $f$。
证明：
取一列单调递减趋近于零的正数 $\{\epsilon_k\}$。由于 $f_n\overset{m}\to f$，故对于每个 $\epsilon_k$，总存在一个 $N_k$ 使得只要 $n\geq N_k$，就有 $ \operatorname {m} \left(\{x\in E| \left\lvert f_n-f \right\rvert \geq\epsilon_k\} \right) <1/2^k$。以这些 $N_k$ 为编号，构建子序列 $\{f_{N_k}\}$。
为方便，记 $\{x\in E| \left\lvert f_{N_k}(x)-f(x) \right\rvert \geq \epsilon_k\}=S_k$。
如果 $x\in E$ 是 $f_{N_k}$ 的不收敛点，那么按照构造规则，它必然在每一个 $\bigcup^\infty_{k=1}S_k$ 中。而由于 $ \operatorname {m}S_k<1/2^k$，可知 $ \operatorname {m} \left(\bigcup^\infty_{k=n}S_k \right) \leq \sum^{\infty}_{k=n} \operatorname {m}S_k<1/2^{n-1}$。
因此 $\{f_{N_k}\}$ 中不收敛于$f$ 的点构成的集合 $\bigcap^\infty_{n=1}\bigcup^\infty_{k=n}S_k$ 是一个零测集。定理得证。
证毕。
最后，我们以一个习题作为本节内容的收尾：
习题 1
若函数列 $\{f_n\}$ 和两个函数 $g$、$h$ 都是定义在 $E$ 上的可测函数，且在 $E$ 上，$f_n$ 同时依测度收敛于 $g$ 和 $h$。那么 $g$ 和 $h$ 几乎处处相等。
证明该命题。
1. ^ 或者任意趋于零的正数列也行。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。