依测度收敛

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 可测函数

   我们已经知道,函数有 “逐点收敛” 和 “一致收敛” 等不同的收敛方式.逐点收敛的概念最简单,但是性质不太好;一致收敛的性质就非常好.

   现在我们有了外测度的概念,就可以构造一种新的收敛方式.

1. 依测度收敛

定义 1 依测度收敛

   设 $E\subseteq \mathbb{R}^n$ 是可测集,$f$ 和 $f_i$ 都是其上的几乎处处有限的可测函数,其中 $i$ 取遍全体正整数.如果对于任意固定的 $\epsilon > 0$,有

\begin{equation} \lim\limits_{i\to\infty} \operatorname {m}\{x\in E| \left\lvert f_i(x)-f(x) \right\rvert \geq\epsilon\}=0 \end{equation}
则称函数列 $\{f_i\}$依测度收敛到函数 $f$,记为 $f_i\overset{ \operatorname {m}}\to f$(于 $E$).

   简单来说,依测度收敛就是指任取一个精度范围 $\epsilon$,$f_i(x)$ 偏离 $f(x)$ 超过精度范围的 $x$ 称为 “不听话” 的点,那么随着 $i$ 增大,不听话的点构成的集合的外测度趋于零.

   类似地,一致收敛可以简单解释为:任取一个精度范围 $\epsilon$,$f_i(x)$ 偏离 $f(x)$ 超过精度范围的 $x$ 称为 “不听话” 的点,那么随着 $i$ 增大,不听话的点构成的集合趋于空集.

   发现没?简单说法里,一致收敛和依测度收敛的简单解释,只有最后一句有差别.从这个差别可以容易看出,一致收敛能推出依测度收敛.更进一步,几乎处处一致收敛也能推出依测度收敛.

   我们把上述讨论总结成以下定理:

定理 1 

  

   设 $E\subseteq \mathbb{R}^n$ 是测度有限的可测集,$f$ 和各 $f_i$ 都是其上的几乎处处有限的可测函数,其中 $i$ 取遍全体正整数.如果 $f_i$一致收敛到 $f$a. e. ,那么 $f_i\overset{ \operatorname {m}}\to f$.

   在讨论依测度收敛的相关问题的时候,“几乎处处” 和 “处处” 可以看成是等价的,因为这两个限定词在测度意义上没有任何区别.

   实际上,几乎处处收敛也是能推出依测度收敛的:

定理 2 

  

   设 $E\subseteq \mathbb{R}^n$ 是测度有限的可测集,$f$ 和各 $f_i$ 都是其上的几乎处处有限的可测函数,其中 $i$ 取遍全体正整数.如果 $f_i\to f $a. e.,那么 $f_i\overset{ \operatorname {m}}\to f$.

   证明

   只需讨论 $f$ 在 $E$ 上恒等于 $0$ 的情况.

   任意固定一个 $\epsilon > 0$.

   由 Egoroff 定理,对于任意 $\delta > 0$,存在可测集 $E_\delta$,使得其测度小于 $\delta$ 且 $\{f_n\}$ 在 $E-E_\delta$ 上一致收敛到 $f=0$.

   因此,存在正整数 $N_\delta$,使得只要正整数 $n > N_\delta$,就有 $ \left\lvert f_n(x) \right\rvert < \epsilon$ 在 $E-E_\delta$ 上处处成立.

   因此,只需要取 $\delta_k=1/2^k$1,得到各 $N_{\delta_k}$(记 $N_{\delta_k}=n_k$),那么 $ \left\lvert f_{n}(x) \right\rvert < \epsilon$ 在 $E-E_{\delta_k}$ 上处处成立,其中 $n > n_k$ 且 $ \operatorname {m}E_{\delta_k} < {\delta_k}$.

   因此,当 $n > n_k$ 时总有 $ \operatorname {m}\{x\in E| \left\lvert f_n(x) \right\rvert \geq\epsilon\}\leq \operatorname {m}E_{\delta_k} < \delta_k$.故

\begin{equation} \lim\limits_{n\to 0} \operatorname {m}\{x\in E| \left\lvert f_n(x) \right\rvert \geq\epsilon\}=0 \end{equation}

   即得证.

   证毕

   反过来,依测度收敛是不能推出几乎处处收敛的.

例 1 

  

   考虑区间 $[0, 1)$ 上的函数列 $\{f_n\}$.为方便表述,定义一个取小数函数$D(x)$,即对于实数 $x$,$D(x)=x-[x]$ 是 $x$ 的小数部分.易见 $D(x)\in [0, 1)$ 恒成立.

   将取小数函数应用到区间上,记 $D([a, b])=\{D(x)|x\in[a, b]\}$.比如,$D([0.5, 1.1])=[0, 0.1]\cup[0.5, 1)$.为了方便想象,你也可以认为取小数函数就是把整个实数轴都卷成周长为 $1$ 的一个圆环.

   定义数列 $\{a_k\}$,其中 $a_0=0$,$a_k=a_{k-1}+1/k-1/2^k$.再定义数列 $\{b_k\}$,其中 $b_k=a_{k+1}+1/2^{k+1}$.你可以试着写出这两个数列的前几项,看看它们都在什么位置,这有助于理解接下来的构造.

   取区间列 $[a_k, b_k]$,则对于任意 $x\in[0, 1)$,总存在无限多个 $k$,使得 $x\in D([a_k, b_k])$.这是因为 $a_k$ 趋近于无穷,导致 $D(a_k)$ 在 $[0, 1)$ 中反复循环;而 $b_k > a_{k+1}$,使得区间列 $\{[a_k, b_k]\}$ 覆盖了所有正数,或者说在每个循环中 $D([a_k, b_k])$ 都能覆盖整个 $[0, 1)$.

   又因为 $ \operatorname {m}[a_k, b_k]=1/k$,知 $\lim\limits_{k\to \infty} \operatorname {m}[a_k, b_k]=0$.

   现在在 $[0, 1)$ 上定义函数列 $\{f_k(x)\}$,其中当 $x\in D([a_k, b_k])$ 时 $f_k(x)=1$,其余情况均有 $f_k(x)=0$.再定义 $f$,其在 $[0, 1)$ 上恒为 $0$.

   则按照上述构造,$f_k$ 依测度趋近于 $f$,但是它又处处趋近于 $f$.

   当我们想到函数列的收敛时,最自然的想法就是处处收敛.现在我们知道了,依测度收敛比处处收敛还弱,例 1 甚至构造了一个处处不收敛但依然依测度收敛的例子.

2. Riesz 定理

   但依测度收敛也不是一无是处,它依然具有以下非常有用的性质:

定理 3 F. Riesz 定理

   如果在可测集 $E$ 上 $f_n\overset{m}\to f$,则必存在 $\{f_n\}$ 的子序列 $\{f_{n_k}\}$,使之几乎处处收敛于 $f$.

   证明

   取一列单调递减趋近于零的正数 $\{\epsilon_k\}$.由于 $f_n\overset{m}\to f$,故对于每个 $\epsilon_k$,总存在一个 $N_k$ 使得只要 $n\geq N_k$,就有 $ \operatorname {m} \left(\{x\in E| \left\lvert f_n-f \right\rvert \geq\epsilon_k\} \right) < 1/2^k$.以这些 $N_k$ 为编号,构建子序列 $\{f_{N_k}\}$.

   为方便,记 $\{x\in E| \left\lvert f_{N_k}(x)-f(x) \right\rvert \geq \epsilon_k\}=S_k$.

   如果 $x\in E$ 是 $f_{N_k}$ 的不收敛点,那么按照构造规则,它必然在每一个 $\bigcup^\infty_{k=1}S_k$ 中.而由于 $ \operatorname {m}S_k < 1/2^k$,可知 $ \operatorname {m} \left(\bigcup^\infty_{k=n}S_k \right) \leq \sum^{\infty}_{k=n} \operatorname {m}S_k < 1/2^{n-1}$.

   因此 $\{f_{N_k}\}$ 中不收敛于$f$ 的点构成的集合 $\bigcap^\infty_{n=1}\bigcup^\infty_{k=n}S_k$ 是一个零测集.定理得证.

   证毕

   最后,我们以一个习题作为本节内容的收尾:

习题 1 

   若函数列 $\{f_n\}$ 和两个函数 $g$、$h$ 都是定义在 $E$ 上的可测函数,且在 $E$ 上,$f_n$ 同时依测度收敛于 $g$ 和 $h$.那么 $g$ 和 $h$ 几乎处处相等.

   证明该命题.


1. ^ 或者任意趋于零的正数列也行.


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