等距映射与保形映射

贡献者： JierPeter

1. 等距变换

　　等距变换，或称等度量变换，是指在变换前后不改变切向量的长度的变换——更一般地，不改变任何两个切向量的内积。

定义 1　等距变换

　　对于两个正则曲面 $S$ 和 $R$ ，如果存在同胚映射 $φ : S \to R$ ，使得对于任意 $p \in S$ 和任意两个 $w_{1}, w_{2} \in T_{p} S$ ，都有 $w_{1} \cdot w_{2} = d φ_{p} (w_{1}) \cdot d φ_{p} (w_{2})$ ，那么我们说 $φ$ 是一个等距变换（isometry），称 $S$ 和 $R$ 是等度量的（isometric）。

定义 2　局部等距变换

　　对于两个正则曲面 $S$ 和 $R$ ，如果存在同胚映射 $φ : S \to R$ ，使得在某一个 $p \in S$ 处有一个邻域，在这个邻域里 $φ$ 是等距映射，则称 $φ$ 是在 $p$ 处的局部等距变换（local isometry）。如果存在 $φ$ 在每一个点上都是局部等距变换，则称 $S$ 和 $R$ 是局部等距的（locally isometric）。

　　局部等距的例子可以依靠以下定理来寻找。

定理 1　

　　对于两个正则曲面 $S$ 和 $R$ ，给定两个局部坐标系 $x : U \to S$ 和 $y : V \to R$ ，使得两个坐标系下计算的 $E, G, F$ ¹相等，则映射 $φ = y \circ x : x (U) \to R$ 是一个局部等距变换。

2. 保形映射

　　等距变换是保形变换的一个特例。等距变换过于简单，因此我们引入范围更广一些的保形映射，比起前者有更多有趣的结构。

定义 3　保形映射

　　对于两个正则曲面 $S$ 和 $R$ ，如果存在同胚映射 $φ : S \to R$ ，使得对于任意 $p \in S$ 和任意两个 $w_{1}, w_{2} \in T_{p} S$ ，都有

\begin{matrix} (1) & d φ_{p} (w_{1}) \cdot d φ_{p} (w_{2}) = λ^{2} (p) w_{1} \cdot w_{2} . \end{matrix}

其中

λ

是

S

上的一个处处不为零的可微函数，则称

φ

是一个保形映射（conformal map），也叫共形映射；

S

和

R

就被称为是共形（conformal）的。

定义 4　局部保形映射

　　对于两个正则曲面 $S$ 和 $R$ ，如果存在同胚映射 $φ : S \to R$ ，使得在某一个 $p \in S$ 处有一个邻域，在这个邻域里 $φ$ 是保形映射，则称 $φ$ 是在 $p$ 处的局部共形映射（local conformal map）。如果存在 $φ$ 在每一个点上都是局部保形变换，则称 $S$ 和 $R$ 是局部共形的（locally conformal）。

　　类似等距变换，我们也有以下定理。

定理 2　

　　对于两个正则曲面 $S$ 和 $R$ ，给定两个局部坐标系 $x : U \to S$ 和 $y : V \to R$ ，使得两个坐标系下计算的 $E, G, F$ 只差一个因子 $λ^{2} (p)$ ，而 $λ (p)$ 是 $S$ 上处处不为零的可微函数，则映射 $φ = y \circ x : x (U) \to R$ 是一个局部等距变换。

　　由正则曲面的定义，我们还容易得到：

定理 3　

　　任意两个正则曲面必然是局部共形的。

1. ^ 见定义 1 。

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等距映射与保形映射

1. 等距变换

定义 1 等距变换

定义 2 局部等距变换

定理 1

2. 保形映射

定义 3 保形映射

定义 4 局部保形映射

定理 2

定理 3

定义 1　等距变换

定义 2　局部等距变换

定理 1　

定义 3　保形映射

定义 4　局部保形映射

定理 2　

定理 3　