保形映射

             

贡献者: JierPeter

1. 等距变换

   等距变换,或称等度量变换,是指在变换前后不改变切向量的长度的变换——更一般地,不改变任何两个切向量的内积.

定义 1 等距变换

   对于两个正则曲面 $S$ 和 $R$,如果存在同胚映射 $\varphi:S\to R$,使得对于任意 $p\in S$ 和任意两个 $w_1, w_2\in T_pS$,都有 $w_1\cdot w_2= \,\mathrm{d}{\varphi} _p(w_1)\cdot \,\mathrm{d}{\varphi} _p(w_2)$,那么我们说 $\varphi$ 是一个等距变换(isometry),称 $S$ 和 $R$ 是等度量的(isometric)

定义 2 局部等距变换

   对于两个正则曲面 $S$ 和 $R$,如果存在同胚映射 $\varphi:S\to R$,使得在某一个 $p\in S$ 处有一个邻域,在这个邻域里 $\varphi$ 是等距映射,则称 $\varphi$ 是在 $p$ 处的局部等距变换(local isometry).如果存在 $\varphi$ 在每一个点上都是局部等距变换,则称 $S$ 和 $R$ 是局部等距的(locally isometric)

   局部等距的例子可以依靠以下定理来寻找.

定理 1 

   对于两个正则曲面 $S$ 和 $R$,给定两个局部坐标系 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} :U\to S$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} :V\to R$,使得两个坐标系下计算的 $E, G, F$1相等,则映射 $\varphi= \boldsymbol{\mathbf{y}} \circ \boldsymbol{\mathbf{x}} : \boldsymbol{\mathbf{x}} (U)\to R$ 是一个局部等距变换.

2. 保形映射

   等距变换是保形变换的一个特例.等距变换过于简单,因此我们引入范围更广一些的保形映射,比起前者有更多有趣的结构.

定义 3 保形映射

   对于两个正则曲面 $S$ 和 $R$,如果存在同胚映射 $\varphi:S\to R$,使得对于任意 $p\in S$ 和任意两个 $w_1, w_2\in T_pS$,都有

\begin{equation} \,\mathrm{d}{\varphi} _p(w_1)\cdot \,\mathrm{d}{\varphi} _p(w_2)=\lambda^2(p)w_1\cdot w_2 \end{equation}
其中 $\lambda$ 是 $S$ 上的一个处处不为零的可微函数,则称 $\varphi$ 是一个保形映射(conformal map),也叫共形映射;$S$ 和 $R$ 就被称为是共形(conformal)的.

定义 4 局部保形映射

   对于两个正则曲面 $S$ 和 $R$,如果存在同胚映射 $\varphi:S\to R$,使得在某一个 $p\in S$ 处有一个邻域,在这个邻域里 $\varphi$ 是保形映射,则称 $\varphi$ 是在 $p$ 处的局部共形映射(local conformal map).如果存在 $\varphi$ 在每一个点上都是局部保形变换,则称 $S$ 和 $R$ 是局部共形的(locally conformal)

   类似等距变换,我们也有以下定理.

定理 2 

   对于两个正则曲面 $S$ 和 $R$,给定两个局部坐标系 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} :U\to S$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} :V\to R$,使得两个坐标系下计算的 $E, G, F$ 只差一个因子 $\lambda^2(p)$,而 $\lambda(p)$ 是 $S$ 上处处不为零的可微函数,则映射 $\varphi= \boldsymbol{\mathbf{y}} \circ \boldsymbol{\mathbf{x}} : \boldsymbol{\mathbf{x}} (U)\to R$ 是一个局部等距变换.

   由正则曲面的定义,我们还容易得到:

定理 3 

   任意两个正则曲面必然是局部共形的.


1. ^定义 1


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