高斯绝妙定理

                     

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预备知识 高斯曲率和平均曲率,等距映射与保形映射

   原作者:JierPeter

   本节我们来讨论高斯绝妙定理.

   在最初的古典微分几何研究中,常常需要将流形理解为某个 $\mathbb{R}^n$ 空间中的超曲面,进行具体的、复杂的计算,从而得到其性质.比如说,很多二维的流形都可以表示为三维空间中的一个曲面,比如球、平面、双曲面等等;也有的二维流形没法在三维空间中表示,比如 Klein 瓶,但是在四维空间中一定可以表示的1

   高斯第一个发现 “曲率” 这一内蕴量,并把该发现命名为绝妙定理(Gauss's Theorema Egregium)2.连高斯都觉得绝妙的发现到底是什么呢?这就需要解释何为 “内蕴” 了:它是指,曲率的计算不依赖于具体的嵌入、图等具体表示,而是流形本身具有的性质.这就逐渐进入了现代微分几何更为抽象但优雅的大门了.


1. ^ 题外话:任意 $n$ 维实流形,都可以嵌入到 $\mathbb{R}^{2n}$ 中.
2. ^ 注意 “绝妙定理(Theorema Egregium)” 是拉丁语.


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