反函数

             

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预备知识 函数

   由于函数本质上是映射,那么如果一个函数的映射存在逆映射,那么我们就把逆映射对应的函数成为反函数(inverse function)

   我们知道不是所有的映射都有反映射.只有单射存在逆映射,而多对一映射不存在逆映射.

\begin{equation} x = f^{-1}[f(x)] \end{equation}

   我们往往可以通过缩小定义域的方式来使一个函数具有反函数.例如 $\sin^{-1} x$ 是 $ \sin\left(x\right) $ 在 $[-\pi/2, \pi/2]$ 区间上的反函数.

   对于有反函数的函数,我们可以用反代法得出反函数,例如

\begin{equation} y = kx + b \qquad (k \ne 0) \end{equation}
我们用 $x$ 代换 $y$,用 $y$ 代换 $x$,可得
\begin{equation} x = ky + b \qquad (k \ne 0) \end{equation}
\begin{equation} y = \frac{1}{k} \cdot x - \frac{b}{k} \end{equation}

1. 图像

   如果一个实函数 $y = f(x)$($f: \mathbb R \to \mathbb R$)可以使用图像描述,那么反函数就是 $f(x)$ 关于直线 $y = x$ 的镜像对称.

   例如 $x^2$ 和 $\sqrt{x}$ 在 $(0, \infty)$ 区间的函数图像.关于 $y = x$ 对称.S

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