干涉、光强的余弦平方分布

                     

贡献者: Zona; addis

  

未完成:巴俾涅原理,线偏振光,辐照度,远场

预备知识 电场波动方程

1. 干涉

   光是一种电磁波,满足由麦克斯韦方程组导出的电场波动方程.它服从重要的叠加原理.简单地说,干涉就是两束或多束光波的相互作用,这种相互作用产生的总辐照度不等于各束光波的辐照度之和.今后我们将在衍射中了解到巴俾涅原理.

   考虑多个光源产生的场 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _1$ , $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _2$ , ...空间一点的总电场强度 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 由下式给出:

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{E}} = \boldsymbol{\mathbf{E}} _1 + \boldsymbol{\mathbf{E}} _2 + \cdots \end{equation}

   光扰动以大约 $ \,\mathrm{10} ^{14}$ Hz 的频率随时间飞快地变化,使得每时每刻的实际光场无法探测.另一方面,辐照度 $I$ 则可以使用各种探头直接测量.因此,研究干涉最好从辐照度的角度研究.

   考虑由两个光源 $S_1$ 和 $S_2$ 在均匀介质(即各向同性介质)中发射同一频率的平面波.令 $S_1$ 与 $S_2$ 的间隔为 $a$,且 $ a \gg \lambda $($\lambda$ 是光的波长),考虑简单的线偏振波:

   $$ \boldsymbol{\mathbf{E}} _1 ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \boldsymbol{\mathbf{E}} _{01} \cos\left( \boldsymbol{\mathbf{k}} _1 \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 - \omega t + \varepsilon_1\right) $$ $$ \boldsymbol{\mathbf{E}} _2 ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \boldsymbol{\mathbf{E}} _{02} \cos\left( \boldsymbol{\mathbf{k}} _2 \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - \omega t + \varepsilon_2\right) $$

   则 $ $ P $ $ 点的辐照度由下式给出:

\begin{equation} I = \epsilon v \langle \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2 \rangle _T \end{equation}

   $\langle \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2 \rangle _T$ 的含义为电场强度的平方在一段时间内的平均值.我们只关注 $ I $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 的关系,因此忽略常系数 $ \epsilon v$,便于讨论.

   $ P $ 点的合场强为 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} = \boldsymbol{\mathbf{E}} _1 + \boldsymbol{\mathbf{E}} _2 $,则辐照度

\begin{equation} \begin{aligned} I &= \langle( \boldsymbol{\mathbf{E}} _1 + \boldsymbol{\mathbf{E}} _2) \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol{\mathbf{E}} _1 + \boldsymbol{\mathbf{E}} _2 )\rangle _T \\ &= \langle \boldsymbol{\mathbf{E}} _1^2 \rangle _T + \langle \boldsymbol{\mathbf{E}} _2^2 \rangle _T + 2\langle \boldsymbol{\mathbf{E}} _1 \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} _2 \rangle _T \\ &= I_1 + I_2 + I_{12} \end{aligned} \end{equation}

   其中 $ I _{12} =2 \langle \boldsymbol{\mathbf{E}} _1 \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} _2 \rangle _T$.

   将 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _1$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _2$ 的表达式代入 $I_{12}$ 可得:

\begin{equation} I_{12} = \boldsymbol{\mathbf{E}} _{01} \boldsymbol{\mathbf{E}} _{02} \cos\delta \end{equation}
\begin{equation} \delta = ( \boldsymbol{\mathbf{k}} _1 \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 - \boldsymbol{\mathbf{k}} _2 \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 ) + \varepsilon_1 - \varepsilon_2 s \end{equation}

   称 $ I_{12} $ 为干涉项,$ \delta $ 为相差

习题 1 

   请读者验证上述结论.提示:$\langle \cos ^2 \omega t \rangle _T = \langle \sin ^2 \omega t \rangle _T = 1/2 $,$ \langle \cos \omega t \sin \omega t \rangle_T =0 $.或者,将电场用复数表示再代入验证.

2. 完全相长(相消)干涉

   我们通常遇到的情况为 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _1 \parallel \boldsymbol{\mathbf{E}} _2$,此时

\begin{equation} I_{12} = E_{01} E_{02}\cos\delta \end{equation}

   利用 $ I = \langle \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2 \rangle _T = \dfrac{1}{2}E^2$,将 $ E_{ 01} = \sqrt{2I_1}$,$ E_{ 02} = \sqrt{2I_2}$ 代入上式,可以得到 $ I $ 更简洁的表达式:

\begin{equation} I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\cos\delta \end{equation}

   (1)当 $\delta = 0, 2\pi, 4\pi, \cdots$ 时,$\cos \delta = 1$,得到 $ I_{max} = I_1 + I_2 +2\sqrt{I_1 I_2}$,这种情况称为完全相长干涉

   (2)当 $\delta = -\pi, \pi, 3\pi, \cdots$ 时,$\cos \delta = 0$,得到 $ I_{min} = I_1 + I_2 $,这种情况称为完全相消干涉

3. 场强的余弦平方分布

   若 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _{01} \parallel \boldsymbol{\mathbf{E}} _{02} $ 且 $S_1$ 和 $S_2$ 发出的光场到达 $ P $ 点的振幅相同,即 $ I_1 = I_2 \equiv I_0 $,则

\begin{equation} I = 2 I_0 ( 1 + \cos\delta ) = 4 I_0 \cos ^2\dfrac { \delta } { 2 } \end{equation}

   这就是远场近似时,场强的余弦平方分布.你将在杨氏双缝实验、菲涅尔双面镜以及薄膜的干涉中多次遇见这个式子.

   上面我们讨论了两个平面波在空间某一点的叠加产生的总场强,它在满足 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _{01} = \boldsymbol{\mathbf{E}} _{02}$ 时,服从余弦平方分布.对于更一般的球面波,上式也同样成立.

   从 $ S_1 $ 和 $ S_2 $ 发出的球面波分别表示为: $$ \boldsymbol{\mathbf{E}} _1 = \boldsymbol{\mathbf{E}} _{ 01 } ( r_1 ) \exp\left[i( k r_1 - \omega t+ \varepsilon_1 )\right] $$ $$ \boldsymbol{\mathbf{E}} _2 = \boldsymbol{\mathbf{E}} _{ 02 } ( r_2 ) \exp\left[i( k r_2 - \omega t+ \varepsilon_2 )\right] $$

   其 $ r $ 是在 $ P $ 点重叠的球形波阵面的半径.电场的振幅与 $ r $ 成反比.利用叠加原理,同样可得 $I_{12} = \boldsymbol{\mathbf{E}} _{01} \boldsymbol{\mathbf{E}} _{02} \cos\delta$.这时,$ \delta = k ( r_1 - r_2 ) + ( \varepsilon_1 - \varepsilon_2 )$. 请读者自行验算.

   我们依然关注特殊的情况,比如,当 $ a \ll r $ 时,可视 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _1$、$ \boldsymbol{\mathbf{E}} _2$ 在小区域内为常量,即 $ E_{ 01} \approx E_{02}$;若 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _{01} = \boldsymbol{\mathbf{E}} _{02} $ , $ I_1 = I_2 = I_0 $,同样可以得到:

\begin{equation} I = 4 I_0 \cos ^2\dfrac { \delta } { 2 } \end{equation}

习题 2 

   仿照对 $ \delta$ 不同取值的讨论,请读者计算 $ I $ 取极大值和极小值时,$ r_1 - r_2 $ 需满足什么条件.

   初相差 $ \varepsilon_1 - \varepsilon_2 $ 的存在使式子不那么优美.若两个点光源同相出射,则可以将两个点光源的光程差所满足的规律用下式简洁地表示:

推论 1 

  • 光强极小值
    \begin{equation} r_1 - r_2 = \dfrac{ m' \lambda} { 2 } , m' = \pm 1, \pm 3, \cdots \end{equation}
  • 光强极大值
    \begin{equation} r_1 - r_2 = m \lambda , m = 0 , \pm 1, \pm 2,\cdots \end{equation}

   总的来说,为了数学上的简单,我们常关注特殊情况,如振幅相等,远场,同相出射.

   在远场,发生干涉的波可以看作平面波,这里辐照度的余弦平方分布成立,可以看到一系列很直的亮暗条纹.离光源更远时,所有的图样只是原样放大而已.远场振幅可以近似相同,因为电场的微小变化对振幅造成的差异可以忽略不计.

   接近光源时,即近场,在这里,既要考虑相位差,也要考虑振幅不同.


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