双缝干涉中一个重要极限

             

预备知识 泰勒级数

   该近似最常用于波动理论,如光的远场干涉衍射.

\begin{equation} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _0 \right\rvert = r - \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} _0 = r - r_0 \cos\theta \end{equation}
$\theta$ 为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0$ 的夹角.这个近似的误差远小于 $r_0$.

   该近似的几何意义是,若三角形的两条边远长于第三条,那么这两条边的长度差等于第三条在任意一条临边上的投影.

1. 推导

   令 $\varepsilon = r_0 / r$,$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _0 = \cos\theta$,该命题变为证明

\begin{equation} \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{r_0} \left[ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _0 \right\rvert - (r - r_0 \cos\theta) \right] = 0 \end{equation}
\begin{equation} \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{r_0} \left[\sqrt{r^2 + r_0^2 - 2rr_0\cos\theta} - (r - r_0 \cos\theta) \right] = 0 \end{equation}
把一个 $r$ 提出中括号外,得
\begin{equation} \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{\varepsilon} \left[\sqrt{1 + \varepsilon^2 - 2\varepsilon\cos\theta} - (1 - \varepsilon \cos\theta) \right] = 0 \end{equation}
现在把根号对 $\varepsilon$ 进行泰勒展开,保留其一阶无穷小,得
\begin{equation} \sqrt{1 + \varepsilon^2 - 2\varepsilon\cos\theta} = 1 - \varepsilon \cos\theta + \mathcal{O}\left(\varepsilon^2 \right) \end{equation}
代入得
\begin{equation} \lim_{\varepsilon \to 0} \frac1\varepsilon \mathcal{O}\left(\varepsilon^2 \right) = \lim_{\varepsilon \to 0} \mathcal{O}\left(\varepsilon \right) = 0 \end{equation}
证毕.

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