双缝干涉中一个重要极限

贡献者：待更新

预备知识　泰勒级数

　　该近似最常用于波动理论，如光的远场干涉衍射。

\begin{matrix} (1) & | r - r_{0} | = r - \hat{r} \cdot r_{0} = r - r_{0} \cos θ, \end{matrix}

θ

为

r

与

r_{0}

的夹角。这个近似的误差远小于

r_{0}

。

　　该近似的几何意义是，若三角形的两条边远长于第三条，那么这两条边的长度差等于第三条在任意一条邻边上的投影。

1. 推导

　　令 $ε = r_{0} / r$ ， $\hat{r} \cdot {\hat{r}}_{0} = \cos θ$ ，该命题变为证明

\begin{matrix} (2) & lim_{ε \to 0} \frac{1}{r_{0}} [| r - r_{0} | - (r - r_{0} \cos θ)] = 0, \end{matrix}

或

\begin{matrix} (3) & lim_{ε \to 0} \frac{1}{r_{0}} [\sqrt{r^{2} + r_{0}^{2} - 2 r r_{0} \cos θ} - (r - r_{0} \cos θ)] = 0 . \end{matrix}

把一个

r

提出中括号外，得

\begin{matrix} (4) & lim_{ε \to 0} \frac{1}{ε} [\sqrt{1 + ε^{2} - 2 ε \cos θ} - (1 - ε \cos θ)] = 0 . \end{matrix}

现在把根号对

ε

进行泰勒展开，保留其一阶无穷小，得

\begin{matrix} (5) & \sqrt{1 + ε^{2} - 2 ε \cos θ} = 1 - ε \cos θ + O (ε^{2}), \end{matrix}

代入得

\begin{matrix} (6) & lim_{ε \to 0} \frac{1}{ε} O (ε^{2}) = lim_{ε \to 0} O (ε) = 0 . \end{matrix}

证毕。

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