虚时间法求基态波函数

贡献者：待更新

本文处于草稿阶段。

　　这里介绍一种求解基态波函数的数值方法。如果薛定谔方程中势能不含时间，用分离变量法解薛定谔方程的结果是

\begin{matrix} (1) & Ψ (r, t) = \sum_{i} ψ_{i} (r) e^{- i E_{i} t}, \end{matrix}

其中

ψ_{i} (r)

是能量为

E_{i}

的能量本征态。

　　现在若要求基态，我们可以用虚数时间，即 $t^{'} = i t$ ，使得含时波函数变为

\begin{matrix} (2) & Ψ (r, t^{'}) = \sum_{i} ψ_{i} (r) e^{- E_{i} t^{'}} . \end{matrix}

这样，激发态衰减的速度就都比基态要快，当

t \to + \infty

的时候，就只剩下基态波函数了。最后进行归一化即可。

　　假设我们有一个求解 TDSE 的数值方法，那么我们只需要用其求解方程

\begin{matrix} (3) & H Ψ = - \frac{\partial Ψ}{\partial t} . \end{matrix}

然后每个循环对波函数进行归一化即可。因为该方程的分离变量解就是式 2 。

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