虚时间法求基态波函数

             

  • 本词条处于草稿阶段.

   这里介绍一种求解基态波函数的数值方法.如果薛定谔方程中势能不含时间,用分离变量法解薛定谔方程的结果是

\begin{equation} \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \sum_i \psi_i( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_i t} \end{equation}
其中 $\psi_i( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 是能量为 $E_i$ 的能量本征态.

   现在若要求基态,我们可以用虚数时间,即 $t' = \mathrm{i} t$,使得含时波函数变为

\begin{equation} \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t') = \sum_i \psi_i( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \mathrm{e} ^{- E_i t'} \end{equation}
这样,激发态衰减的速度就都比基态要快,当 $t \to +\infty$ 的时候,就只剩下基态波函数了.最后进行归一化即可.

   假设我们有一个求解 TDSE 的数值方法,那么我们只需要用其求解方程

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{H}} \Psi = - \frac{\partial \Psi}{\partial t} \end{equation}
然后每个循环对波函数进行归一化即可.因为该方程的分离变量解就是式 2

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