素理想与极大理想

贡献者： JierPeter

　　 本节介绍两类极为重要的理想：素理想和极大理想。

　　 素理想是将整数环上的 “素数” 推广的结果。当然，素理想并不直接对应素数，而是对应 “全体素数的倍数之集合”。

　　 注意，素理想的定义不一定非得是整环，也可以是含有零因子的交换环。比较一下它和素元素的定义，形式上是完全一样的。

　　 极大理想的定义很直观，任何比极大理想大的理想都只能是 $R$ 本身。

　　 素理想的一大作用，是把零因子收集了起来，使得商环能成为一个整环。同时，素理想和素元素之间高度类似。我们可以把这些话写成如下紧凑的定理：

　　 证明：

　　 （1 到 2）：根据素理想的定义和 $S_1S_2$ 的定义，对于任意的 $s_1\in S_1$ 和 $s_2\in S_2$，那么 $s_1$ 和 $s_2$ 中必有一个是 $P$ 的元素。如果 $S_1\not\subset P$，那么必存在某一个 $s_1\in S_1$ 使得 $s_1\not\in P$。这样，任意和这个 $s_1$ 配对的 $s_2\in S_2$ 都必须是 $P$ 的元素了，从而 $S_2\subseteq P$。

　　 （2 到 3）：任取 $P$ 的左陪集 $S_1$ 和 $S_2$，如果 $S_1S_2=P$，那么必有 $S_1$ 和 $S_2$ 的其中之一就是 $P$。换句话说，不存在非零（非 $P$）的元素相乘等于 $0$（$P$）。从而 $R/P$ 无零因子，加上继承自 $R$ 的交换性，它就是一个整环。

　　 （3 到 1）：左陪集的运算可以看成任意选取代表元素进行运算后取结果所在的左陪集。对于任意的 $a, b\in R$，如果 $ab\in P$，那么由于 $R/P$ 是整环，必有 $a\in P$ 或者 $b\in P$。这就是素理想的定义。

　　 证毕。

　　 整环的定义已经非常良好了，再进一步，添上 “乘法单位元存在性” 就能得到域。事实上，这正是极大理想的作用：

　　 证明：

　　 （1 到 2）：我们只需要证明，如果 $\{0\}$ 是 $R$ 的极大理想，那么 $R$ 是域。这是因为如果 $M$ 是 $R$ 的极大理想，那么 $\{M\}$ 就是 $R/M$ 的极大理想。

　　 任取 $r\in R-\{0\}$，令 $I_r=\{sr|s\in R\}$，则显然 $I_r$ 是一个理想。由于 $I_r\supsetneq \{0\}$ 以及 $\{0\}$ 是极大理想，可知 $I_r=R$。也就是说，存在 $s$ 使得 $sr=1$。

　　 （2 到 1）：同样地，我们只需要证明域 $R$ 的理想只有 $R$ 和 $\{0\}$ 两种。

　　 设 $I$ 是一个 $R$ 的理想，并且 $I\not=\{0\}$。由于域的逆元存在性以及 $I$ 的吸收律，必有 $1\in I$，因此 $I$ 必须是 $R$ 本身。

　　 证毕。

　　 要得出 $\mathbb{Z}_p$，还可以应用另一个定理：

　　 证明留给读者。思路提示：由于整环没有零因子，故乘法满足消去律，利用这个消去律和有限性即可证。