概率习题(高中)

             

贡献者: jingyuan

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1. 例 1

   (全国乙卷数学理 6)将 5 名北京奥运会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4 个项目进行培训,每名志愿者只分到 1 个项目,每个项目至少分配 1 名志愿者,则不同的分配方案共有()
A.60 种
B.120 种
C.240 种
D.480 种

解答:

   由题,5 名运动员要分成 4 组,我们需要挑出两个人分为一组,其余一人一组

\begin{equation} C_5^2 = 10 \end{equation}
也就是说有十种分组方式.
再对四组进行全排
\begin{equation} A_4^4 = 24 \end{equation}
\begin{equation} C_5^2A_4^4 =240 \end{equation}
故答案选 A.

2. 例 2

   (2020 年高考一卷 19)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:

   累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一轮轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.

   经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 $\frac{1}{2}$.

   (1) 求甲连胜四场的概率;

   (2) 求需要进行第五场比赛的概率;

   (3) 求丙最终获胜的概率.

解答:

   (1)(第一问没有什么难度,注意答题格式规范)
设甲连胜四场为事件 $A$

\begin{equation} P(A) = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16} \end{equation}
(2)

图
图 1:图解 2-2

   如图所示,进行 5 场比赛有两种情况,负者 1 胜一定进行 5 场,负者 1 负,有 $\frac{1}{2}$ 的概率进行五场
设进行 5 场比赛为事件 $B$

\begin{equation} P(B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \end{equation}
(3)

图
图 2:图解 2-3

  
设丙获胜为事件 $C$
由图可得

\begin{equation} P(C) = (\frac{1}{2})^4 + (\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^3 = \frac{7}{16} \end{equation}

   以上是编者的解法,网络上可以找到其他解法,这里插入一种作为参考

图
图 3:来自百度文库

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