角的概念(高中)

             

贡献者: jingyuan

1. 角的概念的推广

   按逆时针方向旋转形成的角叫做正角;按顺时针方向旋转形成的角叫做负角;如果一条射线从起始位置没有作任何旋转,或终止位置与起始位置重合,我们称这样的角为零度角,又称零角,记作 $\alpha = 0$

   角的终边(除端点外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.

   一般地,所有与角 $\alpha$ 终边相同的角,连同角 $\alpha$ 在内,可构成一个集合

\begin{equation} S = \begin{Bmatrix} \beta|\beta=\alpha+2k\pi,k \in Z \end{Bmatrix} \end{equation}

   注:$2k\pi$ 是弧度制写法,在下面介绍

2. 弧度制

   同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数,我们称这个常数为该角的弧度数

   在单位圆,中长度为 $1$ 的弧,所对的圆心角称为 $1$ 弧度角.它的单位符号是 $rad$,读作弧度

   一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是 $0$.这种以弧度作为单位来度量角的单位制,叫做弧度制.这种度量方法有效地把脚的弧度单位与长度单位统一起来.弧度制确立了角的弧度数与十进制实数间的一一对应关系.

   我们知道,圆周率的定义是

\begin{equation} \pi = \frac{C}{d} \end{equation}
在单位圆中,
\begin{equation} \begin{aligned} r &= 1\\ d &= 2 \end{aligned} \end{equation}
式 2 式 3 可得
\begin{equation} C = 2\pi \end{equation}
根据弧度数的定义,我们可以得到周角 $\alpha$ 的弧度数
\begin{equation} \alpha = C / r = 2\pi \end{equation}

   弧度制的优点在于,我们可以快速得到角、半径和弧长的关系

\begin{equation} \begin{aligned} l &= \alpha \cdot r \\ \alpha &= \frac{l}{r} \\ r &= \frac{l}{\alpha} \end{aligned} \end{equation}


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