角与有向角(高中)

                     

贡献者: jingyuan; addis; Giacomo

  • 本文缺少预备知识,初学者可能会遇到困难。

  

未完成:直角、锐角、钝角

1. 弧度制

   同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数,我们称这个常数为该角的弧度数

   在单位圆中长度为 $1$ 的弧,所对的圆心角称为 $1$ 弧度(radian)角。它的单位符号是 $ \,\mathrm{rad} $,读作弧度

  

未完成:补图

   这种以弧度作为单位来度量角的单位制,叫做弧度制。这种度量方法有效地把角的弧度单位与长度单位统一起来。弧度制确立了角的弧度数与十进制实数间的一一对应关系。

   我们知道,圆周率的定义是

\begin{equation} \pi = \frac{C}{d}~. \end{equation}
在单位圆中,
\begin{equation} \begin{aligned} r &= 1~,\\ d &= 2~. \end{aligned} \end{equation}
式 1 式 2 可得
\begin{equation} C = 2\pi~. \end{equation}
根据弧度数的定义,我们可以得到周角 $\alpha$ 的弧度数
\begin{equation} \alpha = C / r = 2\pi~. \end{equation}
同理可以推出 $\pi$ 弧度所对应的角度
\begin{equation} \pi = 180^\circ~. \end{equation}

   弧度制的优点在于,我们可以快速得到角、半径和弧长的关系

\begin{equation} \begin{aligned} l &= \alpha \cdot r~, \\ \alpha &= \frac{l}{r}~, \\ r &= \frac{l}{\alpha}~. \end{aligned} \end{equation}

2. 有向角 - 角的概念的推广

   按逆时针方向旋转形成的角叫做正角;按顺时针方向旋转形成的角叫做负角;如果一条射线从起始位置没有作任何旋转,或终止位置与起始位置重合,我们称这样的角为零度角,又称零角,记作 $\alpha = 0$

   角的终边(除端点外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角。

   一般地,所有与角 $\alpha$ 终边相同的角,连同角 $\alpha$ 在内,可构成一个集合

\begin{equation} S = \begin{Bmatrix} \beta|\beta=\alpha+2k\pi,k \in Z \end{Bmatrix}~. \end{equation}

   一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是 $0$。


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利