贡献者: Connection
本文主要介绍竖直平面内变速圆周运动的临界问题。这类问题常有如下设问:“如图所示........若物块不脱离轨道,求轨道半径 R 的取值范围”。这个问题也是高中物理的一个重要模型,常作为综合性大题的一个组成部分,与动能定理、动量定理、动量守恒定律、带电粒子运动、电磁感应等知识点共同用作命题。
常见的竖直面内圆周运动模型有绳模型、杆模型、内轨模型、外轨模型等,无论什么模型,竖直面内受重力作用的物体总是做变速圆周运动,我们无法写出一个一劳永逸的描述物体运动特征的函数解析式。想要解决与之有关的临界问题,至少在高中范围内(截止 2024 年的普通高中物理教科书),不用能量观点,我们无从下手。
现在考察一个具体物理情境与实例。
如图 1 所示,一质量为
首先可以设想,当时间开始流动,小球迅速开始向右运动。若无绳子束缚,它将向右水平飞出,也即沿圆形轨迹点 A 处切线飞出。由于绳的拉力,小球会有向心运动趋势,对其进行受力分析,则绳拉力充当向心力。在一个微小的时间微元后,小球正好行走了一小段圆弧。当时间 t 足够大时,小球将会达到圆形轨迹右下方四分之一圆弧的某处。
这时我们立即注意到,在此过程中机械能守恒且重力做功,小球做变速圆周运动,合加速度指向屏幕左侧,速率逐渐减小。
于是我们自然想到,存在一个速度临界值
此时小球无论如何也无法脱离轨道,因为此过程中重力的向心分量使小球有紧压轨道的趋势。
现在我们尝试求出这个临界值
注意到小球速率的减小来源于重力做功,考虑动能定理(机械能守恒定律),选取点 A 所在水平面为势能零点,考虑小球正好抵达与圆心等高处的临界初速度,此时
则:
此即临界速度值,注意到初速度
随着时间流逝,小球在接近与圆心等高处的同时速率逐渐减小至 0,进而反向加速:
求出
可以想象,存在一个速度临界值
无疑,对于超出圆心等高处的上半圆弧,小球是可能脱离轨迹的,因为此时重力的向心分力有使小球脱离轨迹的趋势。
接下来,让我们对一个具体的物理情境考虑小球脱离轨迹的具体位置及相应的速率。
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