静电场的应用(高中)

                     

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预备知识 静电场

1. 电容器

   电容器是用来储存电荷的电学元件.电容器由两个相互靠近、彼此绝缘的导体组成,两导体间可填充绝缘物质——电介质(空气也是一种电介质).最简单的电容器由两块相距很近的平行金属板(极板)组成,叫做平行板电容器.实际上,任何彼此绝缘又相隔很近的导体,都可以看成一个电容器.

   电路中,电容器用字母 $C$ 表示,符号如图 1 .

图
图 1:固定电容器(左)和可变电容器(右)

电容器的充电和放电

   使得两个极板分别带上等量异种电荷的过程,就是电容器的充电过程.充电过程中,流入正极板的电流逐渐减小,电容器所带的电荷量逐渐增加,电容器两极板之间的电场强度逐渐增强,板间电压也逐渐升高,电容器从电源获得的电能转化为电容器中的电场能.充电结束后,电容器两极板间电压与充电电压相等.

   使电容器两极板的异种电荷中和的过程,就是电容器的放电过程.放电过程中,电流从正极板流出且逐渐减小,电容器所带的电荷量逐渐减少,电容器两极板间的电场强度逐渐减弱,板间电压也逐渐降低,电容器中的电场能转化为其他形式的能量.

图
图 2:电容器的充电(左)和放电(右)

电容

   电容器所带电量 Q 与电容器两极板间电压之比,叫做电容器的电容,用 $C$ 表示,即

\begin{equation} C=\frac{Q}{U} \end{equation}

   在国际单位中,电容的单位是法拉,简称,符号为 $\mathrm{F}$.

   常用的电容单位有微法($\mathrm{\mu F}$)和皮法($\mathrm{pF}$).$1\mathrm{F}=10^6 \mathrm{\mu F}=10^{12} \mathrm{pF}$.

   电容是表示电容器容纳电荷本领的物理量.

电容的串联和并联

   $n$ 个电容器并联时,有1

\begin{equation} C=\sum_{i=1}^{n}C_i \end{equation}

   $n$ 个电容器串联时,有

\begin{equation} \frac{1}{C}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{C_i} \end{equation}

平行板电容器

   平行板电容器的电容为

\begin{equation} C = \frac {\epsilon_r S}{4\pi kd} \end{equation}

   式 4 中的 $S$ 和 $d$ 分别为电容器两极板的正对面积和板间距离;$k$ 为静电力常量(式 3 );$\epsilon_r$ 为相对介电常数,真空的 $\epsilon_r$ 值为 $1$.

2. 带电粒子在电场中的运动

   分析带电粒子在电场中的运动时,如电子、质子、离子、$\alpha$ 粒子等,一般都会忽略其重力;而对于带电的小球、粉尘、油滴(液滴)等颗粒,一般都不能忽略其重力.此外,若明确带电粒子所受的静电力远大于重力时,忽略其重力对运动的影响.

带电粒子在电场中的直线运动

例 1 

   如图 3 所示,两平行金属板间电压恒为 $U$,板间距为 $d$.一带电量为 $q$、质量为 $m$ 的带正电粒子,在仅受静电力的作用下,由静止开始从正极板向负极板运动,求粒子到达负极板时的速度大小 $v$.

图
图 3:带电粒子在电场中的直线运动
  1. 从匀加速直线运动来看,粒子运动时的加速度大小为
    \begin{equation} a = \frac{F}{m} = \frac{Eq}{m} = \frac{qU}{md} \end{equation}
    根据速度与位移的关系可列式
    \begin{equation} v^2 - 0 = 2ad \end{equation}
  2. 从静电力做功来看,根据动能定理 $W=E_{k2}-E_{k1}$ 可列式
    \begin{equation} W=qEd=qU=\frac12 mv^2 - 0 \end{equation}

   由上述两种方法,可解得粒子到达负极板时的速度大小为

\begin{equation} v = \sqrt{\frac{2qU}{m}} \end{equation}

   当带电粒子沿着一条平直电场线的方向进入电场,在仅受静电力的作用时,粒子的运动为直线运动,若电场为匀强电场,粒子做匀变速直线运动;若电场为非匀强电场,粒子做变加速直线运动.

带电粒子在匀强电场中的偏转

   两平行金属板间电压恒为 $U$,板间距为 $d$,板长为 $l$.一带电量为 $q$、质量为 $m$ 的带电粒子(重力忽略不计),以初速度 $v_0$ 沿垂直于电场线方向飞入板间的匀强电场.

图
图 4:带电粒子在匀强电场中的偏转

   带电粒子进入匀强电场后,仅受到垂直于初速度方向恒定的静电力,带电粒子在匀强电场的运动类似于平抛运动.


1. ^ 详细证明见 “电容的串联和并联


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