贡献者： 零穹
图空间是指定义在图的点集和边集上的函数全体，它们刚好满足向量空间的定义。定义在点集上的函数全体叫做点空间，而定义在边集上的函数全体叫做边空间。赋权图则是在点或边空间中选择一个函数和图组成的二元组，所选的函数叫做权函数，权函数的值叫做对应点或边的权。
1. 图空间
定义 1 点空间，边空间
设 $D$ 是一个图，其点集和边集为 $V(D)=\{v_1,\cdots,v_n\},E(D)=\{a_1,\cdots,e_m\}$。则定义在 $V(D)$ 上，值域为 $\mathbb R$ 的函数全体称为 $G$ 的点空间（vertex space），记作 $\mathcal V(G)$。而定义在 $E(D)$ 上，值域为 $\mathbb R$ 的函数全体称为 $G$ 的边空间（edge space），记作 $\mathcal E(G)$。
习题 1
$\mathcal V(G),\mathcal E(G)$ 上的加法和数乘定义如下：设
\begin{equation}
f,g\in\mathcal V(G),x\in V(D)\text{或} f,g\in\mathcal E(G),x\in E(D),\lambda\in \mathbb R,~
\end{equation}
那么
\begin{equation}
\begin{aligned}
&(f+g)(x):=f(x)+g(x),\\
&(\lambda f)(x):=\lambda f(x).
\end{aligned}~
\end{equation}
试证明：点空间 $\mathcal V(G)$ 和边空间 $\mathcal E(G)$ 满足
向量空间的定义。
注意到 $\forall f\in\mathcal V(G)$ 可由在 $V(G)$ 上 $n$ 个点处的取值 $f(v_1),\cdots f_(v_n)$ 唯一确定，且 $f(v_i)=f(v_i)\cdot 1$，于是若令 $\alpha_i(v_j)=\delta_{ij},i,j=1,\cdots,n$，其中 $\delta_{ij}$ 试 Dirac $\delta$ 函数。那么
\begin{equation}
f(v_j)=\sum_{i=1}^n f(v_i)\alpha_i(v_j)= \left(\sum_{i=1}^n f_i\alpha_i \right) (v_j),~
\end{equation}
其中 $f_i:=f(v_i)$。于是
\begin{equation}
f=\sum_{i=1}^n f_i\alpha_i.~
\end{equation}
由于 $f$ 的任意性，这表明 $\{\alpha_i|i=1,\cdots,n\}$ 是 $\mathcal V(G)$ 的一组基。因此，$(f_1,\cdots,f_n)$ 就是 $f$ 在该基下的坐标。
同样的，若令 $\beta_i(e_j)=\delta_{ij},i,j=1\cdots,m$，则 $\forall g\in\mathcal E(G)$，$g=\sum\limits_{i=1}^m f_i\beta_i$。即 $\{\beta_i|i=1,\cdots,n\}$ 是 $\mathcal E(G)$ 的一组基。而 $(g_1,\cdots,g_m)$ 就是 $g$ 在该基下的坐标。
2. 赋权图
定义 2 边赋权图
设 $G$ 是图，$\omega\in\mathcal E(G)$。则称二元组 $(G,\omega)$ 为边赋权图（edge weighted graph），$\omega$ 称为边权函数（edge weighted function），$\omega(a)$ 称为边 $a$ 的权（weigth）。
定义 3 点赋权图
设 $G$ 是图，$\omega\in\mathcal V(G)$。则称二元组 $(G,\omega)$ 为点赋权图（vertex weighted graph），$\omega$ 称为点权函数（vertex weighted function），$\omega(a)$ 称为点 $a$ 的权（weigth）。
定义 4 混合赋权图
设 $G$ 是图，$\omega_1\in\mathcal V(G),\omega_2\in\mathcal E(G)$。则称三元组 $(G,\omega_1,\omega_2)$ 为混合赋权图（mixed weighted graph），$\omega_1,\omega_2$ 分别称为点权和边权函数。
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