图空间与赋权图
贡献者: 零穹
图空间是指定义在图的点集和边集上的函数全体,它们刚好满足向量空间的定义。定义在点集上的函数全体叫做点空间,而定义在边集上的函数全体叫做边空间。赋权图则是在点或边空间中选择一个函数和图组成的二元组,所选的函数叫做权函数,权函数的值叫做对应点或边的权。
1. 图空间
定义 1 点空间,边空间
设 是一个图,其点集和边集为 。则定义在 上,值域为 的函数全体称为 的点空间(vertex space),记作 。而定义在 上,值域为 的函数全体称为 的边空间(edge space),记作 。
习题 1
上的加法和数乘定义如下:设
那么
试证明:点空间 和边空间 满足
向量空间的定义。
注意到 可由在 上 个点处的取值 唯一确定,且 ,于是若令 ,其中 试 Dirac 函数。那么
其中 。于是
由于 的任意性,这表明 是 的一组基。因此, 就是 在该基下的坐标。
同样的,若令 ,则 ,。即 是 的一组基。而 就是 在该基下的坐标。
2. 赋权图
定义 2 边赋权图
设 是图,。则称二元组 为边赋权图(edge weighted graph), 称为边权函数(edge weighted function), 称为边 的权(weigth)。
定义 3 点赋权图
设 是图,。则称二元组 为点赋权图(vertex weighted graph), 称为点权函数(vertex weighted function), 称为点 的权(weigth)。
定义 4 混合赋权图
设 是图,。则称三元组 为混合赋权图(mixed weighted graph), 分别称为点权和边权函数。
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