每当我们提出一个概念，我们都需要考察它的性质，对可能的例子进行分类。数论函数中有着很重要的两大类——积性函数和加性函数。最基本的数论函数基本都可以归为这两类。由于积性函数和加性函数之间存在着简单的转化关系，而积性函数更方便我们处理，因此积性函数相比下要重要得多。
例 1 除数函数的积性
我们很容易算出除数函数 $d(n)$ 当 $n$ 从 $1$ 到 $20$ 的值，分别是 1,2,2,3,1,4,2,4,3,4,2,6,2,4,4,5,2,6,2,6.
可以发现这些恒等式：
\begin{equation}
d(6)=d(2)d(3),d(12)=d(3)d(4),d(17)=d(1)d(17),\cdots~
\end{equation}
你可能会猜测
\begin{equation}
d(xy)=d(x)d(y)~,
\end{equation}
但是：
\begin{equation}
d(4)\neq d(2)d(2),d(12)\neq d(2)d(6), \cdots~
\end{equation}
实际上，上面的猜测中 $x,y$ 互素时才成立。这可以通过 $d(n)$ 的下列计算式说明：
\begin{equation}
d(n)=\prod\limits_{p^{\alpha\!\:_p}\| n}(1+\alpha_p)~.
\end{equation}
其中 $p^{k_p}\| n$ 表示 $n$ 的质因数分解中 $p$ 的指标为 $k_p$。该式可由唯一分解和乘法原理很快得到。
例 2
$I(n),u(n),e(n),d(n),\sigma(n),\mu(n),\varphi(n),\lambda(n)$ 都是积性的。
例 3
$I(n),u(n),e(n),\lambda(n)$ 都是完全积性的。
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