积性函数

                     

贡献者: hfb25

预备知识 数论函数
  • 本词条需要更多讲解,便于帮助理解.

定义 1 积性函数

   如果数论函数 $f(n)$ 使

\begin{equation} f(ab)=f(a)f(b),(a,b)=1 \end{equation}
恒成立,则称 $f(n)$ 是积性的

例 1 

   $I(n),u(n),e(n),d(n),\sigma(n),\mu(n),\varphi(n),\lambda(n)$ 都是积性的.

定义 2 完全积性函数

   如果数论函数 $f(n)$ 使

\begin{equation} f(ab)=f(a)f(b) \end{equation}
恒成立,则称 $f(n)$ 是完全积性的.

例 2 

   $I(n),u(n),e(n),\lambda(n)$ 都是完全积性的.

定理 1 积性函数的性质

   $f(n)$ 是积性的,则:

  1. $f(1)=1$.
  2. $f((a,b))f([a,b])=f(a)f(b)$.
  3. 函数 $F(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)$ 也是积性的.

   证明留给读者.


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