积性函数
贡献者： 待更新
定义 1 积性函数
如果数论函数 $f(n)$ 使
\begin{equation}
f(ab)=f(a)f(b),(a,b)=1~.
\end{equation}
恒成立，则称 $f(n)$ 是
积性的。
例 1
$I(n),u(n),e(n),d(n),\sigma(n),\mu(n),\varphi(n),\lambda(n)$ 都是积性的。
定义 2 完全积性函数
如果数论函数 $f(n)$ 使
\begin{equation}
f(ab)=f(a)f(b)~.
\end{equation}
恒成立，则称 $f(n)$ 是完全积性的。
例 2
$I(n),u(n),e(n),\lambda(n)$ 都是完全积性的。
定理 1 积性函数的性质
$f(n)$ 是积性的,则：
- $f(1)=1$.
- $f((a,b))f([a,b])=f(a)f(b)$.
- 函数 $F(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)$ 也是积性的。
证明留给读者。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损， 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。