积性函数

                     

贡献者: hfb25

预备知识 数论函数
  • 本文需要更多讲解,便于帮助理解。

   每当我们提出一个概念,我们都需要考察它的性质,对可能的例子进行分类。数论函数中有着很重要的两大类——积性函数和加性函数。最基本的数论函数基本都可以归为这两类。由于积性函数和加性函数之间存在着简单的转化关系,而积性函数更方便我们处理,因此积性函数相比下要重要得多。

   什么是积性函数?先从一个比较自然的例子开始。

例 1 除数函数的积性

   我们很容易算出除数函数 $d(n)$ 当 $n$ 从 $1$ 到 $20$ 的值,分别是 1,2,2,3,1,4,2,4,3,4,2,6,2,4,4,5,2,6,2,6.

   可以发现这些恒等式:

\begin{equation} d(6)=d(2)d(3),d(12)=d(3)d(4),d(17)=d(1)d(17),\cdots~ \end{equation}

   你可能会猜测

\begin{equation} d(xy)=d(x)d(y)~, \end{equation}

   但是:

\begin{equation} d(4)\neq d(2)d(2),d(12)\neq d(2)d(6), \cdots~ \end{equation}

   实际上,上面的猜测中 $x,y$ 互素时才成立。这可以通过 $d(n)$ 的下列计算式说明:

\begin{equation} d(n)=\prod\limits_{p^{\alpha\!\:_p}\| n}(1+\alpha_p)~. \end{equation}

   其中 $p^{k_p}\| n$ 表示 $n$ 的质因数分解中 $p$ 的指标为 $k_p$。该式可由唯一分解和乘法原理很快得到。

   于是,我们抽象出下列定义:

定义 1 积性函数

   如果数论函数 $f(n)$ 使

\begin{equation} f(ab)=f(a)f(b),(a,b)=1~. \end{equation}
恒成立,则称 $f(n)$ 是积性的

例 2 

   $I(n),u(n),e(n),d(n),\sigma(n),\mu(n),\varphi(n),\lambda(n)$ 都是积性的。

   当然不要求互素的也有:

定义 2 完全积性函数

   如果数论函数 $f(n)$ 使

\begin{equation} f(ab)=f(a)f(b)~. \end{equation}
恒成立,则称 $f(n)$ 是完全积性的。

例 3 

   $I(n),u(n),e(n),\lambda(n)$ 都是完全积性的。

定理 1 积性函数的性质

   $f(n)$ 是积性的,则:

  1. $f(1)=1$.
  2. $f((a,b))f([a,b])=f(a)f(b)$.
  3. 函数 $F(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)$ 也是积性的。

   证明留给读者。这里需要指出的是,第三条性质表明,积性函数的Möbius 变换也是积性的。


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