贡献者： 零穹
在行列式的性质 一节中，我们看到行列式 $\det \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 关于矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的行是斜对称的（或反对称），即交换 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的任意两行行列式变号；且 $\det \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的行的多重线性函数（下面解释），等等一些其它性质。事实上，任意函数只要满足斜对称性和多重线性性就天然具备其它性质，具有斜对称性和多重线性性的函数简称斜对称多重线性函数。
本节将证明：若 $\mathcal D$ 是矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的斜对称多重线性函数，那么它将和 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的行列式 $\det \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 成比例，比例系数为 $\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{E}} )$ ($ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 为单位矩阵)，即 $\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} )=\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{E}} )\cdot \det \boldsymbol{\mathbf{A}} $。那么若函数 $\mathcal D$ 还满足条件 $\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{E}} )=1$，则 $\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} )=\det \boldsymbol{\mathbf{A}} $。
简言之，若矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的斜对称多重线性函数 $\mathcal D$ 满足条件 $\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{E}} )=1$，那么 $\mathcal D$ 就为矩阵的行列式函数 $\det$。这便是行列式唯一性定理。本定理将有助于与行列式有关的其它理解，比如外代数和行列式的联系。
1. 两个引理
先引入两个有助于证明的定理。
所有矩阵元为实数的 $n$ 阶矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的集合一般记为 $M_n(\mathbb R)$，其中 $\mathbb R$ 是实数集。
为方便讨论矩阵的函数与矩阵行列的关系，我们引入下面两个记号：
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(i)}=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in}),\quad i=1,2,\cdots, n\\
& \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{(j)}=[a_{1j},a_{2j},\cdots,a_{nj}],\quad j=1,2,\cdots, n
\end{aligned}~
\end{equation}
其中，$ \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(i)}, \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{(j)}$ 分别表示矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} =(a_{ij})$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 列。于是矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的函数 $\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} )$ 可记为
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} )=\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(1)}, \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(2)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(n)})\\
&\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} )=\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{(1)}, \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{(2)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{(n)})\\
\end{aligned}~
\end{equation}
当讨论 $\mathcal D$ 与矩阵行的关系时，往往用上式第一中记法，反之讨论 $\mathcal D$ 与矩阵列的关系时用第二种记法。
引理 1
若任意函数 $\mathcal D:M_n(\mathbb R)\rightarrow \mathbb R$ 满足下面两个性质：
- 斜对称性：任意交换矩阵的两行函数 $\mathcal D$ 变号。即任意 $i\neq j\in \{1,2,\cdots,n\}$，有
\begin{equation}
\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(1)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(i)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(j)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(n)})=-\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(1)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(j)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(i)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(n)})~.
\end{equation}
- 多重线性性：函数 $\mathcal D$ 是矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的任一行 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(k)}$ 的线性函数。即
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(1)},\cdots,\alpha \boldsymbol{\mathbf{A}} '_{(k)}+\beta \boldsymbol{\mathbf{A}} ''_{(k)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(n)})\\
&=\alpha\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(1)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{A}} '_{(k)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(n)})+\beta\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(1)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{A}} ''_{(k)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(n)}),\quad\forall\alpha,\beta\in\mathbb R
\end{aligned}~
\end{equation}
那么，$\mathcal D$ 亦满足：
- $\mathcal D(\lambda \boldsymbol{\mathbf{A}} )=\lambda^n\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} )$
- 某 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 有一行为 0，比如第 $i$ 行 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(i)}= \boldsymbol{\mathbf{0}} $，则 $\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} )=0$
- 若 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 有两行相同，比如 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(i)}= \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(j)},i\neq j$，则 $\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} )=0$
- 在第 $i$ 行 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(i)}$ 加上 一常数 $\lambda$ 乘以任一 $j\neq i$ 行 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(j)}$，其值不变，即
\begin{equation}
\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(1)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(i)}+\lambda \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(j)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(n)})=\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(1)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(i)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(n)})~.
\end{equation}
引理结论的 1，2 容易通过多重线性性式 4 证得！而结论 3 容易通过斜对称性得到，结论 4 通过多重线性性和结论 3 得到。
引理 2
设 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是一个 $n$ 阶上三角矩阵：
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
&a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
&0&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
&0&0&\cdots&a_{nn}
\end{pmatrix}~
\end{equation}
$ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 是单位矩阵，且 $\mathcal D$ 是满足
引理 1 条件的任意函数，则
\begin{equation}
\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} )=\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{E}} )a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}~.
\end{equation}
证明：显然，
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{A}} _{(1)}&=(a_{11},a_{12},\cdots,a_{1n})~,\\
\boldsymbol{\mathbf{A}} _{(i)}&=(0,\cdots,0,a_{ii},\cdots,a_{in})~,\\
\boldsymbol{\mathbf{A}} _{(n)}&=(0,\cdots,0,a_{nn})=a_{nn}(0,\cdots,0,1)=a_{nn} \boldsymbol{\mathbf{E}} _{(n)}~.
\end{aligned}
\end{equation}
由 $\mathcal D$ 的多重线性性，有
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} )&=\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(1)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(n-1)},a_{nn} \boldsymbol{\mathbf{E}} _{(n)})\\
&=a_{nn}\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(1)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(n-1)}, \boldsymbol{\mathbf{E}} _{(n)})~.
\end{aligned}
\end{equation}
对式 9 最后一等式中 $\mathcal D$ 内的矩阵进行下面的变换，从矩阵的第 $i$（$i\neq n$）行减去最后一行与 $a_{in}$ 的乘积，即第 $i$ 行变为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(i)}-a_{in} \boldsymbol{\mathbf{E}} _{(n)}$。这时最后一列的元素除第 $n$ 个都变为 0，而第 $n-1$ 行变成 $a_{n-1,n-1} \boldsymbol{\mathbf{E}} _{(n-1)}$。这时，由引理 1 的 4，$\mathcal D$ 的值不变，即
\begin{equation}
\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} )=a_{nn}a_{n-1,n-1}\mathcal D(\overline{ \boldsymbol{\mathbf{A}} }_{(1)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{E}} _{(n-1)}, \boldsymbol{\mathbf{E}} _{(n)})~.
\end{equation}
重复同样的过程，最后即得
\begin{equation}
\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} )=a_{nn}\cdots a_{11}\cdot \mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{E}} )~.
\end{equation}
证毕！
显然行列式函数 $\det$ 是斜对称多重线性函数，所以具有引理 1 ，引理 2 的性质。
2. 行列式唯一性定理
现在来证明行列式的唯一性定理。
定理 1 行列式唯一性定理
设 $\mathcal D:M_n(\mathbb R)\rightarrow \mathbb R$ 是斜对称多重线性函数，则
\begin{equation}
\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} )=\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{E}} )\cdot \det \boldsymbol{\mathbf{A}} ~.
\end{equation}
特别的，在 $\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{E}} )=1$ 时，$\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} )=\det \boldsymbol{\mathbf{A}} $。
证明：因为借助 2-型初等变换，即矩阵某一行加其它行乘任意常数，矩阵行列式不变；而借助 1-型初等变换，即交换矩阵任意两行，行列式变号（引理 1 ）。而矩阵都可用初等变换化为上三角矩阵（见高斯消元法）。假设 $\overline{ \boldsymbol{\mathbf{A}} }$ 为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的上三角矩阵，在转化过程中初等 1-型变换进行了 $q$ 次，则
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\det{ \boldsymbol{\mathbf{A}} }=(-1)^q\det{\overline{ \boldsymbol{\mathbf{A}} }}=(-1)^q\overline{a}_{11}\cdots \overline{a}_{nn}~,\\
&\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} )=(-1)^q\mathcal{D}(\overline{ \boldsymbol{\mathbf{A}} })~.
\end{aligned}
\end{equation}
由
引理 2
\begin{equation}
\mathcal D(\overline{ \boldsymbol{\mathbf{A}} })=\overline{a}_{11}\cdots \overline{a}_{nn}\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{E}} )~.
\end{equation}
故
\begin{equation}
\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} )=\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{E}} )\cdot \det \boldsymbol{\mathbf{A}} ~.
\end{equation}
证毕！
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损， 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。