行列式唯一性定理

                     

贡献者: 零穹

预备知识 行列式的性质

   在行列式的性质 一节中,我们看到行列式 $\det \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 关于矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的行是斜对称的(或反对称),即交换 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的任意两行行列式变号;且 $\det \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的行的多重线性函数(下面解释),等等一些其它性质.事实上,任意函数只要满足斜对称性和多重线性性就天然具备其它性质,具有斜对称性和多重线性性的函数简称斜对称多重线性函数

   本节将证明:若 $\mathcal D$ 是矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的斜对称多重线性函数,那么它将和 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的行列式 $\det \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 成比例,比例系数为 $\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{E}} )$ ($ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 为单位矩阵),即 $\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} )=\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{E}} )\cdot \det \boldsymbol{\mathbf{A}} $.那么若函数 $\mathcal D$ 还满足条件 $\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{E}} )=1$,则 $\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} )=\det \boldsymbol{\mathbf{A}} $.

   简言之,若矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的斜对称多重线性函数 $\mathcal D$ 满足条件 $\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{E}} )=1$,那么 $\mathcal D$ 就为矩阵的行列式函数 $\det$.这便是行列式唯一性定理.本定理将有助于与行列式有关的其它理解,比如外代数和行列式的联系.

1. 两个引理

   先引入两个有助于证明的定理.

   所有矩阵元为实数的 $n$ 阶矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的集合一般记为 $M_n(\mathbb R)$,其中 $\mathbb R$ 是实数集.

   为方便讨论矩阵的函数与矩阵行列的关系,我们引入下面两个记号:

\begin{equation} \begin{aligned} & \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(i)}=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in}),\quad i=1,2,\cdots, n\\ & \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{(j)}=[a_{1j},a_{2j},\cdots,a_{nj}],\quad j=1,2,\cdots, n \end{aligned} \end{equation}
其中,$ \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(i)}, \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{(j)}$ 分别表示矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} =(a_{ij})$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 列.于是矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的函数 $\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} )$ 可记为
\begin{equation} \begin{aligned} &\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} )=\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(1)}, \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(2)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(n)})\\ &\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} )=\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{(1)}, \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{(2)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{(n)})\\ \end{aligned} \end{equation}
当讨论 $\mathcal D$ 与矩阵行的关系时,往往用上式第一中记法,反之讨论 $\mathcal D$ 与矩阵列的关系时用第二种记法.

引理 1 

   若任意函数 $\mathcal D:M_n(\mathbb R)\rightarrow \mathbb R$ 满足下面两个性质:

  1. 斜对称性:任意交换矩阵的两行函数 $\mathcal D$ 变号.即任意 $i\neq j\in \{1,2,\cdots,n\}$,有
    \begin{equation} \mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(1)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(i)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(j)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(n)})=-\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(1)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(j)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(i)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(n)}) \end{equation}
  2. 多重线性性:函数 $\mathcal D$ 是矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的任一行 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(k)}$ 的线性函数.即
    \begin{equation} \begin{aligned} &\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(1)},\cdots,\alpha \boldsymbol{\mathbf{A}} '_{(k)}+\beta \boldsymbol{\mathbf{A}} ''_{(k)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(n)})\\ &=\alpha\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(1)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{A}} '_{(k)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(n)})+\beta\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(1)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{A}} ''_{(k)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(n)}),\quad\forall\alpha,\beta\in\mathbb R \end{aligned} \end{equation}

   那么,$\mathcal D$ 亦满足:

  1. $\mathcal D(\lambda \boldsymbol{\mathbf{A}} )=\lambda^n\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} )$
  2. 某 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 有一行为 0,比如第 $i$ 行 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(i)}= \boldsymbol{\mathbf{0}} $,则 $\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} )=0$
  3. 若 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 有两行相同,比如 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(i)}= \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(j)},i\neq j$,则 $\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} )=0$
  4. 在第 $i$ 行 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(i)}$ 加上 一常数 $\lambda$ 乘以任一 $j\neq i$ 行 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(j)}$,其值不变,即
    \begin{equation} \mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(1)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(i)}+\lambda \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(j)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(n)})=\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(1)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(i)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(n)}) \end{equation}

   引理结论的 1,2 容易通过多重线性性式 4 证得!而结论 3 容易通过斜对称性得到,结论 4 通过多重线性性和结论 3 得到.

引理 2 

   设 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是一个 $n$ 阶上三角矩阵:

\begin{equation} \begin{pmatrix} &a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ &0&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ &\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ &0&0&\cdots&a_{nn} \end{pmatrix} \end{equation}
$ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 是单位矩阵,且 $\mathcal D$ 是满足引理 1 条件的任意函数,则
\begin{equation} \mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} )=\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{E}} )a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} \end{equation}

   证明:显然,

\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(1)}&=(a_{11},a_{12},\cdots,a_{1n})\\ \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(i)}&=(0,\cdots,0,a_{ii},\cdots,a_{in})\\ \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(n)}&=(0,\cdots,0,a_{nn})=a_{nn}(0,\cdots,0,1)=a_{nn} \boldsymbol{\mathbf{E}} _{(n)} \end{aligned} \end{equation}
由 $\mathcal D$ 的多重线性性,有
\begin{equation} \begin{aligned} \mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} )&=\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(1)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(n-1)},a_{nn} \boldsymbol{\mathbf{E}} _{(n)})\\ &=a_{nn}\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(1)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(n-1)}, \boldsymbol{\mathbf{E}} _{(n)}) \end{aligned} \end{equation}

   对式 9 最后一等式中 $\mathcal D$ 内的矩阵进行下面的变换,从矩阵的第 $i$($i\neq n$)行减去最后一行与 $a_{in}$ 的乘积,即第 $i$ 行变为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _{(i)}-a_{in} \boldsymbol{\mathbf{E}} _{(n)}$.这时最后一列的元素除第 $n$ 个都变为 0,而第 $n-1$ 行变成 $a_{n-1,n-1} \boldsymbol{\mathbf{E}} _{(n-1)}$.这时,由引理 1 的 4,$\mathcal D$ 的值不变,即

\begin{equation} \mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} )=a_{nn}a_{n-1,n-1}\mathcal D(\overline{ \boldsymbol{\mathbf{A}} }_{(1)},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{E}} _{(n-1)}, \boldsymbol{\mathbf{E}} _{(n)}) \end{equation}
重复同样的过程,最后即得
\begin{equation} \mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} )=a_{nn}\cdots a_{11}\cdot \mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{E}} ) \end{equation}

   证毕!

   显然行列式函数 $\det$ 是斜对称多重线性函数,所以具有引理 1 引理 2 的性质.

2. 行列式唯一性定理

   现在来证明行列式的唯一性定理.

定理 1 行列式唯一性定理

   设 $\mathcal D:M_n(\mathbb R)\rightarrow \mathbb R$ 是斜对称多重线性函数,则

\begin{equation} \mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} )=\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{E}} )\cdot \det \boldsymbol{\mathbf{A}} \end{equation}
特别的,在 $\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{E}} )=1$ 时,$\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} )=\det \boldsymbol{\mathbf{A}} $.

   证明:因为借助 2-型初等变换,即矩阵某一行加其它行乘任意常数,矩阵行列式不变;而借助 1-型初等变换,即交换矩阵任意两行,行列式变号(引理 1 ).而矩阵都可用初等变换化为上三角矩阵(见高斯消元法).假设 $\overline{ \boldsymbol{\mathbf{A}} }$ 为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的上三角矩阵,在转化过程中初等 1-型变换进行了 $q$ 次,则

\begin{equation} \begin{aligned} &\det{ \boldsymbol{\mathbf{A}} }=(-1)^q\det{\overline{ \boldsymbol{\mathbf{A}} }}=(-1)^q\overline{a}_{11}\cdots \overline{a}_{nn}\\ &\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} )=(-1)^q\mathcal{D}(\overline{ \boldsymbol{\mathbf{A}} }) \end{aligned} \end{equation}
引理 2
\begin{equation} \mathcal D(\overline{ \boldsymbol{\mathbf{A}} })=\overline{a}_{11}\cdots \overline{a}_{nn}\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{E}} ) \end{equation}
\begin{equation} \mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{A}} )=\mathcal D( \boldsymbol{\mathbf{E}} )\cdot \det \boldsymbol{\mathbf{A}} \end{equation}

   证毕!


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