比较定理

贡献者：零穹

预备知识　微分方程

　　比较定理可以形象的描述为：若甲乙两人在一直线上跑步，在直线上每一点，甲的速度都比乙的速度慢，且在某一时刻 $t_{0}$ ，甲乙两人相遇，那么在相遇前，甲始终跑在乙前面，而在相遇后，甲则始终跑在乙的后面。

　　这一定理几乎是显然的，但是应该注意在某一时刻，甲的速度可能比乙快。

定理 1　比较定理

　　若 $v_{1}, v_{2}$ 是实轴区间 $U$ 上定义的两实连续函数，且 $v_{1} < v_{2}$ 。又设 $φ_{1}, φ_{2}$ 分别是微分方程

\begin{matrix} (1) & \frac{d φ_{1}}{d t} |_{t = τ} = v_{1} (φ_{1} (τ)), \frac{d φ_{2}}{d t} |_{t = τ} = v_{2} (φ_{2} (τ)) . \end{matrix}

的解。其中

φ_{1}, φ_{2}

是将区间

(a, b) (- \infty \leq a < b \leq + \infty)

映射到

U

上的函数。那么

\begin{matrix} (2) & {\begin{aligned} φ_{1} (t) \geq φ_{2} (t), t \leq t_{0} \\ φ_{1} (t) \leq φ_{2} (t), t \geq t_{0} \end{aligned} \end{matrix}

　　 证明:

　　我们来证式 2 中的第一式，而第二式只需用同样的方法证明即可。设 $T$ 是对于 $τ < t \leq t_{0}$ 中的一切 $t$ 使

\begin{matrix} (3) & φ_{1} (t) \geq φ_{2} (t), t \leq t_{0} . \end{matrix}

成立的数

τ

的集合的下确界（上确界与下确界）。由假设知

a \leq T \leq t_{0}

。由连续性知

φ_{1} (T) = φ_{2} (T)

，且由条件

\begin{matrix} (4) & \frac{d φ_{1}}{d t} |_{t = T} < \frac{d φ_{2}}{d t} |_{t = T}, \end{matrix}

因此对充分接近

T

的一切

t < T

的点，有

φ_{1} > φ_{2}

。故若

a < T

，则

T

不能是下确界。这一矛盾表明，

T = a

。

　　 证毕！

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定理 1 比较定理

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