比较定理

                     

贡献者: 零穹

预备知识 微分方程

   比较定理可以形象的描述为:若甲乙两人在一直线上跑步,在直线上每一点,甲的速度都比乙的速度慢,且在某一时刻 $t_0$,甲乙两人相遇,那么在相遇前,甲始终跑在乙前面,而在相遇后,甲则始终跑在乙的后面。

   这一定理几乎是显然的,但是应该注意在某一时刻,甲的速度可能比乙快。

定理 1 比较定理

   若 $v_1,v_2$ 是实轴区间 $U$ 上定义的两实连续函数,且 $v_1 < v_2$。又设 $\varphi_1,\varphi_2$ 分别是微分方程

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{\varphi_1}}{\mathrm{d}{t}} |_{t=\tau}=v_1(\varphi_1(\tau)), \quad \frac{\mathrm{d}{\varphi_2}}{\mathrm{d}{t}} |_{t=\tau}=v_2(\varphi_2(\tau)) \end{equation}
的解。其中 $\varphi_1,\varphi_2$ 是将区间 $(a,b)\;(-\infty\leq a < b\leq+\infty)$ 映射到 $U$ 上的函数。那么
\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &\varphi_1(t)\geq\varphi_2(t),\quad t\leq t_0\\ &\varphi_1(t)\leq\varphi_2(t),\quad t\geq t_0 \end{aligned}\right. \end{equation}

   证明:

   我们来证式 2 中的第一式,而第二式只需用同样的方法证明即可。设 $T$ 是对于 $\tau < t\leq t_0$ 中的一切 $t$ 使

\begin{equation} \varphi_1(t)\geq\varphi_2(t),\quad t\leq t_0 \end{equation}
成立的数 $\tau$ 的集合的下确界(上确界与下确界)。由假设知 $a\leq T\leq t_0$。 由连续性知 $\varphi_1(T)=\varphi_2(T)$,且由条件
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{\varphi_1}}{\mathrm{d}{t}} |_{t=T} < \frac{\mathrm{d}{\varphi_2}}{\mathrm{d}{t}} |_{t=T}, \end{equation}
因此对充分接近 $T$ 的一切 $t < T$ 的点,有 $\varphi_1 > \varphi_2$。故若 $a < T$,则 $T$ 不能是下确界。这一矛盾表明,$T=a$。

   证毕!


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