彭罗斯图形表示法

贡献者： JierPeter

　　 彭罗斯图形表示法（Penrose graphical notation，或 diagrammatic tensor notation），或者叫彭罗斯图像记号，是一种用二维图像的方式直观表示张量的性质和运算的系统，由彭罗斯于 1971 年提出¹。

　　 图像记号通常方便手写，可应用于自旋网络、多线性代数、量子计算和李群分类等诸多领域。

1. 概念的引入

　　 考虑一个线性空间 $V$ 上的双线性函数 $f:V\times V\to\mathbb{F}$，其中 $\mathbb{F}$ 是 $V$ 的基域。对 $f$ 输入两个向量，能得到一个数字；但是如果只对 $f$ 输入一个向量，则得到的是一个对偶向量。因为对于给定的 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} \in V$，$f( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} )$ 可以理解为关于 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 的线性函数，这个线性函数随着 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 变化而变化，所以你可以理解为 $f$ 把 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 映射为一个 $V$ 上的线性函数 $f( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \cdot)$²，而线性函数正是对偶向量。

　　 这么一看，$f$ 既可以理解为 $V\times V\to\mathbb{F}$ 的映射，也可以理解为 $V\to V^*$ 的映射，只取决于你输入的是什么。$f$ 作为二元映射，就像有两个接口，给它接入两个向量，它就返回一个数字；但是只接入一个向量的话，它就变成一个单自变量映射，只剩一个接口。

　　 反过来，$V$ 也是 $V^*$ 的对偶空间，所以 $f$ 接入一个向量后所剩下的东西就是一个 $V^*$ 中的元素——而这个东西的特点是 “有一个接口”。

　　 顺着这个思路，我们可以自然地创造出彭罗斯记号。

例 1　彭罗斯记号中的向量与对偶向量

　　

图 1：彭罗斯记号表示法示意图。

　　 如图 1 所示，指标记号所表示的主向量 $v^a$ 用彭罗斯记号表示为有一个向上的接口的图像，它和其它主向量的区分在于接口一端连接的形状。也就是说，如果你看到一个同样有一个上接口的图像，但是接口一端的图形和这里不一样，那就说明这是不同于 $v^a$ 的另一个主向量。对偶向量 $\omega_a$ 表示为一个有向下的接口的图像。

　　 $\omega_av^a$ 表示上述这一对对偶向量之间相互作用所得的数字，彭罗斯记号中表示为对应的两个接口连接到一起，形成一个没有接口的对象，那就是一个数字。

　　 如果考虑二者的张量积 $T_a^{\phantom{1}b}$，那么就不把它们的接口接到一起，而是简单合并到一起，变成一个具有一上一下两接口的对象。

　　 你可以在接口旁标注这个接口的名字，但不至于混淆的时候可以不标。

　　 由例 1 可见，彭罗斯记号表示缩并（contraction）非常方便，只要把参与缩并的两个指标对应的接口接到一起就可以了。作缩并的时候要注意是哪些指标参与，因此彭罗斯记号中的接口也要注意区分。

例 2　彭罗斯记号中的接口命名

图 2：接口命名示意图。

　　 如图 2 ，$(2, 0)$ 型张量被表示为一个具有两上接口的图形，我们在接口末端分别标注两个接口对应的指标名称。这样，入宫要计算 $T^{ab}\omega_{a}$，就把 $\omega_{a}$ 的下接口接到命名为 $a$ 的接口上，而计算 $T^{ab}\omega_{b}$ 时要把 $\omega_b$ 的下接口接到命名为 $b$ 的接口上。

　　 如果调换指标的位置，则 $T^{ba}$ 中两个接口的命名就和 $T^{ab}$ 相反。只是命名改变，不影响 $T^{ab}$ 的本质，但是很多时候我们为了方便描述，会默认接口 $a$ 在左、接口 $b$ 在右，于是 $T^{ba}$ 可以表示成图 2 中第一行最右边那个 “交叉” 的形式，保证 $a$、$b$ 的默认位置不变。

　　 如果指标位置已默认，那么就可以省去写接口命名，而用交叉的方式表示接口顺序不同的张量。比如，如果要表达 $T^{ab}=T^{ba}$，就可以写成图 2 第二行的样子。

　　 既然不能忽略彭罗斯记号中的指标命名，就算省略指标命名也需要默认指标的位置顺序，所以换接口指标的时候要小心。

　　 考虑 $T^{ab}\omega_{c}$ 和 $T^{ab}\delta^c_a\omega_{c}$ 的区别，前者有三个指标，后者只有一个。事实上，$T^{ab}\delta^c_a\omega_{c} = T^{ab}\omega_{a}$，于是彭罗斯记号里 $\delta^c_a$ 就直接表示为一个没有连接图形的导线，但是导线两端的接口分别命名为 $c$ 和 $a$。

　　 有了图形表示法，我们一开始说的 $f$ 就很容易直观理解了。如图 3 ，$f$ 本身表示为一个有两个下接口的图形，但是如果输入了一个自变量，即给它接入一个向量 $v^a$（有一个上接口的图形），那么结果就是一个具有一个下接口的图形，也就是一个对偶向量。这个对偶向量的图形部分是 $f$ 和 $v^a$ 的形状，这意味着这个对偶向量由 $f$ 和 $v^a$ 共同决定。也就是说，$f(v^a, \cdot)$ 和 $f(u^a, \cdot)$ 是不同的两个对偶向量，二者在彭罗斯记号中以总体图形的形状来区分。

2. 运算

3. 一些重要的符号

　　 前面我们已经知道了，$\delta_b^a$ 在指标表示法中的作用是 “改变指标名称”，因此在彭罗斯记号中表现为一根导线，这样其它张量和它相接就直接改变了导线另一端的指标名称，如图 4 所示。类似地，度规 $g_{ab}$ 是给定流形上最重要的一个双线性函数，因此特别地表示为一根端口都朝下（即指标升降）的导线，如图 4 所示。

1. ^ Roger Penrose, "Applications of negative dimensional tensors," in Combinatorial Mathematics and its Applications, Academic Press (1971). See Vladimir Turaev, Quantum invariants of knots and 3-manifolds (1994), De Gruyter, p. 71 for a brief commentary.
2. ^ 这里的 $\cdot$ 表示空位，即需要输入自变量的地方。