贡献者： 叶月2_; boymike17; addis
预备知识 Friedmann-Robertson-Walker (FRW) 度规
由于物体在宇宙中传播的过程中，宇宙也在加速膨胀，所以为了准确的测量物体在宇宙传播过程中的物理量，我们需要引进宇宙学红移的概念。
1. 光子的红移
假设位于共动坐标 $r_1$ 处的光源在 $t_1$ 时刻发出光子，原点处的我们在 $t_0$ 时刻收到，不失一般性，假设 $ \,\mathrm{d}{\theta} = \,\mathrm{d}{\phi} =0$，那么根据光子走过的世界线为 $0$ 这一事实，并结合 FRW 度规，我们有
\begin{equation}
s=\int^{t_0}_{t_1}\frac{c}{a(t')} \,\mathrm{d}{t} '=\int_0^{r_1}\frac{1}{\sqrt{1-k(r/R)^2}} \,\mathrm{d}{r} ~.
\end{equation}
间隔一小段时间后，即在 $t_1+ \,\mathrm{d}{t} _1$ 时，光源处再次发射出光子，而我们在 $t_0+ \,\mathrm{d}{t} _0$ 时刻检测到，则
\begin{equation}
\int^{t_0+ \,\mathrm{d}{t} _0}_{t_1+ \,\mathrm{d}{t} _1}\frac{c}{a(t')} \,\mathrm{d}{t} '=\int_0^{r_1}\frac{1}{\sqrt{1-k(r/R)^2}} \,\mathrm{d}{r} ~.
\end{equation}
由于间隔时间极短，用式 2 减去式 1 ，可以解得：
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{t} _0}{a(t_0)}=\frac{ \,\mathrm{d}{t} _1}{a(t_1)}~.
\end{equation}
假设我们检测的是连续传播的电磁波，$ \,\mathrm{d}{t} _0, \,\mathrm{d}{t} _1$ 对应的是两个连续波峰的时间间隔，那么因为波长与该时间间隔成正比可知：
\begin{equation}
\lambda_0=\frac{a(t_0)}{a(t_1)}\lambda_1~,
\end{equation}
因为宇宙在加速膨胀 $a(t_0)>a(t_1)$, 所以容易得 $\lambda_0>\lambda_1$。也就是说，宇宙的加速膨胀使得我们测得的电磁波波长更长，这就是所说的红移效应。因此，观测到红移意味着星系都在远离我们。
2. 红移因子
定义 1
为衡量红移效应的大小，我们定义红移因子（redshift parametre）为
\begin{equation}
z=\frac{\lambda_0-\lambda_1}{\lambda_1}~,
\end{equation}
显然从式 4 我们可以推出
\begin{equation}
\begin{aligned}
1+z&=\frac{a(t_0)}{a(t)}=\frac{1}{a(t_1)}\\
a(t_1)&=\frac{1}{1+z}
\end{aligned}~,
\end{equation}
一般地我们设现在的宇宙尺度因子 $a(t_0)=1$。在有了红移因子的定义后，我们就多了一种描述宇宙内物体位置的方式，
3. 哈勃常数1
假设某星系在共动坐标系的轨迹为 $r(t)$，那么其在物理坐标系下的轨迹为
\begin{equation}
r_{phy}(t)=a(t)r(t)~,
\end{equation}
且其物理速度为
\begin{equation}
\begin{aligned}
v_{phy}& =\frac{\dot a}{a}ar(t)+a \frac{\mathrm{d}{r}}{\mathrm{d}{t}} \\
&=H(t)r_{phy}+av_{pec}~,
\end{aligned}
\end{equation}
其中特殊速度 $v_{pec}$ 为此星系在共动坐标系里的速度，由近邻星系的引力决定。比如我们银河系的特殊速度为 $400\,km/s$，哈勃常数 $H(T)\equiv \frac{\dot a}{a}$。在宇宙学里，常用下标 0 表示现在的值，比如 $H_0$ 表示现今的哈勃常数。在今，哈勃常数的数值为
\begin{equation}H_0\approx70\text{ km s}^{-1}\operatorname{Mpc}^{-1}~.
\end{equation}
还有一种写法为
\begin{equation}H_0=100h \mathrm{km} \mathrm{s}^{-1} \mathrm{Mpc}^{-1}~,\end{equation}
其中 $h$ 测得的数值为
2
\begin{equation}
h\sim 0.67 \pm 0.01~.
\end{equation}
显然，代入 $h\approx 0.7$ 便是今天的哈勃常数。
我们把 $t_1$ 时刻的宇宙尺度因子 $a(t_1)$ 以现在的时刻 $t_0$ 为原点作泰勒展开，可得
\begin{equation}
a(t_1)=a(t_0)(1+(t-t_0)H_0+\cdots)~.
\end{equation}
若简单直白地令宇宙大爆炸时的尺度因子为零（$a(t_{BB})=0$），那么便可知宇宙年龄的数量级必为 $H_0^{-1}$，我们有
\begin{equation}t_0-t_{BB}=H_0^{-1}\approx4.4\times10^{17}\text{ s}\approx1.4\times10^{10}\text{ years}~,\end{equation}
与实际年龄 138 亿岁已是十分接近。
4. 光度距离
物体的内秉亮度 $L$ 是其在单位时间内发射出的能量，那么对于观测的星体，我们可以定义视亮度 $l$ 为观测者在某一位置，每单位时间和单位面积接收到的能量。设观测者与星体的物理距离为 $a(t_0)r_0$，在 $ \,\mathrm{d}{t} _0$ 内接收到的能量为 $E_0$，那么视亮度为
\begin{equation}
l=\frac{E_0}{4\pi a^2(t_0)r_0^2 \,\mathrm{d}{t} _0}~.
\end{equation}
若星体在共动参考系下，单位时间 $ \,\mathrm{d}{t} _1$ 内发出能量为 $E_1$，红移效应会使得
\begin{equation}
E_0=\hbar\nu_0=\hbar \frac{\nu_1}{1+z}\frac{E_1}{1+z}~.
\end{equation}
令 $a(t_0)=1$，代入 $ \,\mathrm{d}{t} _0= \,\mathrm{d}{t} _1/a(t_1)$，则
\begin{equation}
\frac{E_0}{ \,\mathrm{d}{t} _0}=\frac{E_1}{1+z}\frac{a(t_1)}{ \,\mathrm{d}{t} _1}=\frac{E_1}{(1+z)^2 \,\mathrm{d}{t} _1}=\frac{L}{(1+z)^2}~.
\end{equation}
回代
式 14 ，我们得
\begin{equation}
l=\frac{L}{4\pi r_0^2(1+z)^2}~.
\end{equation}
如果是在平直空间，那么视亮度自然是 $L/(4\pi d^2),d$ 为观测者到星体的距离。考虑到 $r_0(1+z)$ 也是长度量纲，我们可以定义
光度距离(luminosity distance)：
\begin{equation}
d_H\equiv r_0(1+z)~.
\end{equation}
1. ^ 参考 Tong David 的宇宙学讲义。
2. ^ 12Planck 2013 Results – Cosmological Parameters [arXiv:1303.5076]
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