单向量的运算

                     

贡献者: 叶月2_

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   注:本文参考 Jier Peter 的《代数学基础》。

   在上一节,我们介绍了单向量的基本运算。本节着重讨论外积、对偶以及左内积运算在单向量集合上的性质,即这些运算在单向量集合上是否封闭,以及运算结果与子空间的关系。需要注意的是,左内积以及对偶运算往往需要我们取一组正交基,因为用集合语言讨论非常方便,所以对于退化二次型,我们需要仔细检验某些结论是否成立。

互反基

   由于几何代数定义在线性空间上,所以我们也可以定义 “对偶基” 的概念。稍后我们可以发现,对单向量取对偶后其子空间和 “对偶基” 的关系。

定义 1 

   给定非退化的几何代数 $\mathcal G(V,q)$,$\{e_1,e_2...e_k\}$ 是 $V$ 上的一组基,则可以定义该基的互反基(reciprocal basis)$\{e^1,e^2...e^k\}$,使得

\begin{equation} e^i*e_j=\delta^i_j~. \end{equation}

   reciprocal 也可翻译为 “互逆”、“对偶” 和 “倒易” 等。 与对偶空间的概念相似,无论是定义中的基向量组还是互反基,都不要求正交性。

   不过非退化的几何代数里总存在标准正交基。在取了标准正交基后,其互反基实际上就是这组基本身:$e^i=e_i$。因此,此时互反基相当于利用二次型,将对偶空间同构回原空间。 假设 $\{x_i\}$ 为一般基向量组,考虑过渡矩阵为 $T^i_j$ 的基变换:$y_i=T^j_ix_j$,由互反基与普通基的关系得:

\begin{equation} y^j=S^j_ix^i~, \end{equation}
其中 $S^j_i$ 为 $T^j_i$ 的逆矩阵。

运算封闭性

   利用互反基的概念,我们可以表示任意单向量的对偶。下面我们来验证,如果 $A$ 是单向量,那么 $A^c=\bar A^{\perp}$

定理 1 

   给定非退化的几何代数 $G(V,q)$。任取非零单向量 $A=v_1\wedge v_2...\wedge v_k$,由于其非零,可以拓展为 $V$ 上的一组基 $\{v_1,v_2...v_k,v_{k+1}...v_n\}$,则有

\begin{equation} A^c\propto v^{k+1}\wedge v^{k+2}...\wedge v^n~, \end{equation}

   其中,$\{v^i\}$ 是 $\{v_i\}$ 的互反基。

   proof. 由几何代数非退化,可以取 $\bar A$ 上的一组标准正交基 $\{e_i\}^k_{i=1}$,并扩展为全空间的标准正交基 $\{e_i\}^n_{i=1}$。由互反基定义得,$v^{k+m}$ 垂直于 $\bar A$.则

\begin{equation} \begin{aligned} A&\propto e_1\wedge e_2...\wedge e_k\\ v^{k+1}\wedge v^{k+2}...\wedge v^n &=e_{k+1}\wedge e_{k+2}\wedge...\wedge e_n~, \end{aligned} \end{equation}
对 $A$ 取对偶,由定义得
\begin{equation} \begin{aligned} A^c&=AI^{-1}\\ &\propto AI\\ &\propto e_1 e_2... e_k e_1 e_2... e_n\\ &=e_{k+1} e_{k+2}... e_n\\ &=e_{k+1}\wedge e_{k+2}\wedge...\wedge e_n~, \end{aligned} \end{equation}
得证。

   由上述定理可知,单向量的对偶还是单向量。读者也可以进一步证明,单向量集合在其他运算下也是封闭的。

推论 1 

   给定非退化的几何代数 $\mathcal G(V,q)$。任取两个单向量 $A$,$B$,则 $A\wedge B$ 与 $A\vee B$ 也是单向量

推论 2 

   给定非退化的几何代数 $\mathcal G(V,q)$。任取两个单向量 $A$,$B$,则 $A\llcorner B$ 也是单向量。

   第二个推论的证明需要用到定理 2 $A\llcorner B=(A\wedge B^c)^c$,并结合本节定理 1 。 但实际上,即使是非退化的几何代数,该推论也成立。

推论 3 

   若 $A,B$ 为几何代数 $\mathcal G(V,q)$ 的两个单向量,则 $A\llcorner B$ 也是单向量。

   proof. 设 $A=v_1\wedge v_2\wedge...\wedge v_n$,由基本推论式 13 得,上式可以写为 $A\llcorner B=(v_1\wedge v_2...)\llcorner B=(v_1\llcorner (v_2\llcorner...(v_n\llcorner B))$,因此本推论只需要 $v_n\llcorner B$ 成立。 把 $q$ 写为对角矩阵的形式,通过合同变换使得不为零的对角元都在前 $k$ 列,并设 $v_n=\sum \limits^{n}_{i=1}a^i e_i,u=\sum \limits^{k}_{i=1}a^i e_i$,其中 $\{e_i\}$ 为标准正交基。

   代入计算可得:$v_n\llcorner B=u\llcorner B$,该结果是外积的线性组合。

   改变二次型,使得第 $k$ 到第 $n$ 列对角元为 1,命名该几何代数为 $\mathcal G(V,p)$,与 $\mathcal G(V,q)$ 共享标准正交基。建立线性同构为 basis 和单向量的恒等映射。因而我们有

\begin{equation} u\llcorner_q B=u\llcorner _p B~. \end{equation}
结合推论 2 ,可得上式为单向量。

与子空间关系

   定理 1 的另一种阐述方式为

定理 2 

   取 $A\in \mathcal B^{\bullet}(V,q)$,若 $q$ 非退化,有

\begin{equation} \bar A=\bar A^{\perp}~. \end{equation}

   现在给出一些运算与子空间的关系。

定理 3 

   取 $A,B\in \mathcal B^{\bullet}(V,q)$,则有

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} A \wedge B \neq 0 & \Longrightarrow \overline{A \wedge B}=\bar{A} \oplus \bar{B} \\ \bar{A}+\bar{B}=V & \Longrightarrow \overline{A \vee B}=\bar{A} \cap \bar{B} \\ \bar{A} \subseteq \bar{B} & \Longrightarrow A\llcorner B=A B \\ A\llcorner B \neq 0 & \Longrightarrow \overline{A\llcorner B}=\bar{A}^{\perp} \cap \bar{B} \\ \bar{A} \cap \bar{B}^{\perp} \neq\{0\} & \Longrightarrow A\llcorner B=0 . \end{aligned}\right.~ \end{equation}

   对于第一条,我们由左边可知,$A,B$ 各自对应的线性无关组合在一起也是线性无关的。若 $\bar A,\bar B$ 有非 0 元素为 $v$,可知 $-v$ 也是交集元素,则合在一起的基矢组线性相关。

   对于第二条,设 $\bar A$ 对应基矢组 $\{e_i\}^k_{i=1}$,$\bar B$ 对应基矢组 $\{e_i\}^n_{i=r+1}$,即交集部分为组 $\{e_i\}^k_{i=r+1}$。根据定义有

\begin{equation} \begin{aligned} A \vee B &=(A^c\wedge B^c)^c\\ &\propto\left(\bigwedge\limits^n_{i=k+1}e_i\wedge \bigwedge\limits^r_{i=1}e_i\right)^c\\ &=\bigwedge\limits^k_{i=r+1}e_i~, \end{aligned} \end{equation}
因此第二条成立。

   读者可以验证第三条。 第四条的证明思路仿照推论 3 。由于 $A\llcorner B=(v_1\wedge v_2...)\llcorner B=(v_1\llcorner (v_2\llcorner...(v_n\llcorner B))$,我们只消验证第四条对任意 $v\in V$ 都成立即可。

   非退化的情况下把 $\bar B$ 内的一组正交基 $\{e_i\}^k_{i=1}$ 扩展为全空间的正交基,然后证明该式成立。

   下面证明二次型退化的情况下该式依然成立。 令 $q$ 为该线性空间的标准二次型,前 k 个对角元不为 0,其他的都为 0。令 $p$ 为把 $q$ 中为 0 对角元改为 1 的结果。外积与二次型无关,所以可以建立从 $\mathcal G(V,q)$ 到 $\mathcal G(V,p)$ 的线性同构(恒等映射),该同构保外积形式不变。令 $\{e_i\}^n_{i=1}$ 为这两个代数的公共正交基,$v=a^ie_i,u=\sum \limits ^k_{i=1}a^ie_i$。则我们有:

\begin{equation} v_{\llcorner q} B=u_{\llcorner q}B=u_{\llcorner p}B=\bar{v}^{\perp} \cap \bar{B}~, \end{equation}
推论 3 可得,上式为单向量,且由前面的证明可知,非退化下其张成的空间为 $\bar u^{\perp}\cap\bar B$。最后我们只需要证明:$u^{\perp}|_p=v^{\perp}|_q$。

   设 $x=\{b^ie_i|x\in u^{\perp}|_p\}$,则

\begin{equation} \begin{aligned} u\cdot x|_p&=\sum \limits^k_{i=1}a^i b^i p(e_i)=0\\ & \Leftrightarrow \sum \limits^n_{i=1}a^i b^i q(e_i)=0\\ & \Leftrightarrow u^{\perp}|_p=v^{\perp}|_q~. \end{aligned} \end{equation}
得证。回忆一下从分次角度看左内积,“若 $A$ 是任意 $ \boldsymbol{\mathbf{s}} -$ 向量,B 是任意 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 向量,$A\llcorner B=< AB>_{s-k}$”,而本文进一步说明了如果左内积的结果非零,那么该分次空间其实由 $A\perp$ 中 B 的部分张成。举个例子,$(e_1+e_2)\llcorner (e_1+e_2+e_3)=(e_1-e_2)\wedge e_3$。

   第五条也是用相同思路证明,验证 $A$ 是向量的情况。$\bar A \cap \bar B^{\perp}$ 说明 $A$ 正交于 $B$,因此无论取什么基都能得出该结论。


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