贡献者： int256
1.（余）切空间
这是直接视 $n$ 维复流形 $M$ 为 $2n$ 维实流形得到的，$T_{\mathbb R, p} M$。对余切空间同理。
2. 全纯切丛与反全纯切丛
接下来是复化切空间的定义。对于复流形 $(M, J)$（这里的 $M$ 是一个实流形，配备了 $J$ 的复结构），其上的 $J_p: T_{\mathbb R,p} M \to T_{\mathbb R, p} M$ 即限定在 $p$ 点的复结构 $J$，是 $p$ 点的切空间 $T_{\mathbb R, p} M$ 的自同态。
考虑将切空间复化：$T_{\mathbb R, p} M \mapsto T_{\mathbb R, p} M \otimes \mathbb C$，即每个切矢量的 “系数” 可以从实数变为复数，则 $J_p$ 给出了：
\begin{equation}
J_p : T_{\mathbb R,p} M \otimes \mathbb C \to T_{\mathbb R, p} M \otimes \mathbb C ~.
\end{equation}
$J^2 = -1$ 给出了 $J$ 在 $T_{\mathbb R, p} M$ 的特征值是 $\pm \mathrm i$，就可以对 $T_{\mathbb R, p} M \otimes \mathbb C$ 的直和分解，对应到两个特征空间：
\begin{equation}
T_{\mathbb C, p} M = T_{\mathbb R, p} M \otimes \mathbb C = T_p^{1, 0} M \oplus T_p^{0, 1} M ~.
\end{equation}
其中，$T_p^{1, 0} M$ 对应 $+\mathrm i$ 特征值，称为
全纯切空间，$T_p^{0, 1} M$ 对应 $-\mathrm i$ 特征值，称为
反全纯切空间。
类似的，对整个流形而言，
\begin{equation}
T_{\mathbb C} M = T_\mathbb R M \otimes \mathbb C = T^{1, 0} M \oplus T^{0, 1} M ~.
\end{equation}
其中，$T^{1, 0} M$ 对应 $+\mathrm i$ 特征值，称为
全纯切丛，$T^{0, 1} M$ 对应 $-\mathrm i$ 特征值，称为
反全纯切丛。
可以写出：
\begin{equation}
\begin{aligned}
T^{1, 0} M &= \{v \in T_{\mathbb C} M \mid J(v) = +\mathrm i v\} \\
T^{0, 1} M &= \{v \in T_{\mathbb C} M \mid J(v) = -\mathrm i v\}
\end{aligned} ~.
\end{equation}
他们分别诱导出基矢量：
\begin{equation}
\left\{ \frac{\partial}{\partial{z_i}} := \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial{x_i}} - \mathrm i \frac{\partial}{\partial{y_i}} \right) \right\} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\left\{ \frac{\partial}{\partial{\bar z_i}} := \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial{x_i}} + \mathrm i \frac{\partial}{\partial{y_i}} \right)\right\} ~.
\end{equation}
在复几何中，可以在全纯切丛上研究一些几何。
3. 复化切空间中的切向量
利用这个分解，我们可以把任意一个 $T_\mathbb C M$ 中的矢量分解为 $T^{1, 0} M$ 中的矢量和 $T^{0, 1} M$ 中的矢量的直和，一般区分拉丁字母和希腊字母：
\begin{equation}
S^a = S^\alpha + S^{\bar \alpha} ~.
\end{equation}
自然可以给出：
\begin{equation}
J^a_b = \mathrm i \delta^\alpha_\beta - \mathrm i \delta^{\bar \alpha}_{\bar \beta} = \mathrm i(\delta^\alpha_\beta - \delta^{\bar \alpha}_{\bar \beta} )~.
\end{equation}
4. 复化余切丛
复化余切丛的构造方法可以类比实流形和复流形的复化切丛，对偶地，
\begin{equation}
T^*_\mathbb C M = T^*_\mathbb R M \otimes \mathbb C ~.
\end{equation}
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