进制、二进制

贡献者： addis

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1. $N$ 进制需要几个符号？

　　我们日常熟悉使用十进制。但我们可能由于对其习以为常而忘记它一般的规则。所以我们不妨总结一下。用阿拉伯数字表示十进制数时，每一位共有十个符号：$0,1,\dots, 9$。要特别注意其中并没有 “十” 这个符号，必须要用两位数 $10$ 才能表示出十。

　　许多国家的自然语言中存在比 $9$ 大的数字的单词，如英语的 eleven, twelve 可以用一个单词表示 $11$ 和 $12$，但是当我们讨论十进制的阿拉伯数字写法时，一位数符号中只有 $0,1,\dots, 9$ 而没有其他符号。

　　下面我们会看到这个规律对任何进制都是一样的：$N$ 进制中的一位数只需要包括 $0$ 在内的 $N$ 个不同的符号，可以表示 $0,1,\dots,N-1$。而需要进位成两位数才可以表示 $N$ 本身。

2. 一般公式

预备知识　科学计数法、数量级、单位（高中），求和符号（高中）

　　如果从 $0$ 开始，如何数数呢？从十进制中我们可以总结出来，当一位数的符号从第一个数到最后一个后，如果还需要下一个，就在左边一位使用下一个符号，并把当前位归零。例如 $9$ 可以看成 $09$，下一个数在第二位使用下一个符号 $10$。又例如 $199$ 的下一个数是 $200$，这是因为最右边两位同时达到了最后一个符号，所以要在第三位使用下一个符号并把前两位归零。注意我们假设可以在一个数字左边写上任意多位的 $0$ 而不影响它表示的值。

　　所以十进制的（右边）第二位的 $1$ 代表 $10$ 倍，而第三位数代表 $100$ 倍……例如十进制的 $43576$ 表示

\begin{equation} 48576 = 4 \times 10^{4} + 3 \times 10^{3} + 5 \times 10^{2} + 7\times 10 \times 10^{1} + 6 \times 10^{0} ~. \end{equation}

这里的每一项使用了科学计数法，$10^4$ 表示 $10000$，$10^3$ 表示 $1000$ 等。特殊地，$10^1=10$，$10^0=1$。

　　那么相似地，对于任意的 $N$ 进制，当某一位从 $0$ 变到 $N-1$ 后，如果还需要下一个符号，就在下一位加 $1$。也就是下一位的一个数等于上一位的 $N$ 倍。

　　可以总结出，$m$ 位的 $N$ 进制数可以表示的最大的数是 $9\dots9_\text{N}$（$m$ 个 $9$），也就是 $N^m-1$。所以 $m$ 位的 $N$ 进制数一共可以表示 $N^m$ 个不同的数（包括 $0$）。

　　根据式 1 可以总结出 $m$ 位 $N$ 进制数的一般表达式：

\begin{equation} d_{m-1}\dots d_1d_0 = \sum_{n=0}^{m-1} d_n N^n~. \end{equation}

这里使用了求和符号。

3. 八进制

　　作为一个和十进制相近的例子，我们先来学八进制。八进制下，我们每位只能使用 $0,\dots,7$ 这 $8$ 个符号。当我们需要 $7$ 的下一个符号时，就进位到下一位，即 $10$。为了和十进制的 $10$ 区分，我们把它写成 $10_\text{8}$。所以 $10_\text{8} = 8$。

　　我们可以继续数七个数，到 $17_\text{8}$，那么下一个数又该进位并把第一个归零，即成为 $20_\text{8}$。再数七个到 $27_\text{8}$，然进位成 $30_\text{8}$。当你继续数到 $77_\text{8}$，那么下一个数需要向第二位进位，但第二位也已经满了，所以需要向第三位进位，成为 $100_\text{8}$。

　　所以如果把式 1 左边的数视为 $8$ 进制的 $48576_\text{8}$，它在十进制中表示多少呢？类比过来，就是

\begin{equation} 48576_\text{8} = 4\times 8^{4} + 3\times 8^{3} + 5\times 8^{2} + 7\times 8^1 + 6\times 8^0 = 18302~. \end{equation}

4. 二进制

　　根据上文，二进制只有两个符号 $0$ 和 $1$。二进制是最小的进制，因为 “一进制” 将不能表示 $0$ 以外的任何数。

　　我们用二进制数数：$0_\text{2}$，$1_\text{2}$ 这时已经到最后一个符号了，于是进位得到 $10_\text{2}$，再数 $11_\text{2}$，这时发现两位数都是最后一个符号，向第三位进位得 $100_\text{2}$，$101_\text{2}$，$110_\text{2}$，$111_\text{2}$。向第四位进位：$1000_\text{2}$，$1001_\text{2}$，$1010_\text{2}$，$1011_\text{2}$，$1100_\text{2}$，$1101_\text{2}$，$1110_\text{2}$，$1111_\text{2}$……

　　二进制数如何转换位十进制呢？一个八位二进制数的例子：

\begin{equation} 11010010_\text{2} = 2^7 + 2^6 + 0\times 2^5 + 2^4 + 0\times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1\times 2^1 + 2^0 = 210~. \end{equation}

5. 十六进制

　　十六进制需要 $16$ 个符号，所以我们需要在十进制的 $10$ 个符号基础上额外添加 $6$ 个，一般使用字母 a 到 f 分别表示 $10$ 到 $15$，也可以用大写。例如

\begin{equation} \mathrm{47a58d}_\text{16} = 4\times 16^5 + 7\times 16^4 + 10\times 16^3 + 5\times 16^2 + 8 \times 16^1 + 14 = 4695438~. \end{equation}

　　十六进制在计算机领域经常被使用。这是因为一位十六进制数与 $4$ 位二进制数具有一一对应的关系。这是因为 $4$ 位二进制数可以表示的数有 $2^4 = 16$。

6. 小数

　　我们来思考 $N$ 进制的小数点表示什么。任何整数可以视为小数点在最右边且右边都是零，每当小数点向左移动一位，就代表原来的数的 $1/10$，向右移动一位就是乘以 $10$。

　　那么同理，$N$ 进制中，每把小数点向左移动一位，就代表原来的数乘以 $1/N$，向右移动一位就代表乘以 $N$。

　　我们可以把式 2 改写为支持小数的形式：

\begin{equation} d_{m-1}\dots d_1d_0.d_{-1}d_{-2}\dots d_{-l} = \sum_{n=-l}^{m-1} d_n N^n~. \end{equation}

其中 $d_0$ 后面的点表示小数点。也就是说，小数点左边的那位数始终是个位数。

7. 进制的转换

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