Berkeley-ECS 方法

                     

贡献者: addis

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预备知识 Lippmann-Schwinger 方程

1. 推导

  1要把最后的波函数 $ \left\lvert \Psi(t_0) \right\rangle $ 投影到精确散射态 $ \left\lvert \varphi_{\alpha,E} \right\rangle $ 上,而避免计算精确散射态,可以先解

\begin{equation} (E-H) \left\lvert \Psi_{SC}(E) \right\rangle = \left\lvert \Psi(t_0) \right\rangle \end{equation}
类比式 5 ,形式上这相当于计算
\begin{equation} \left\lvert \Psi_{SC}(E) \right\rangle = G^+(E) \left\lvert \Psi(t_0) \right\rangle \end{equation}
但这并不重要,数值上仍然直接解非齐次线性方程组式 1 即可.

   下一步,把末态投影到精确散射态上得

\begin{equation} \begin{aligned} &\quad \left\langle \varphi_{\alpha,E} \middle| \Psi(t_0) \right\rangle = \left\langle \varphi_{\alpha,E} \middle| E-H \middle| \Psi_{SC}(E) \right\rangle \\ &= \langle{\varphi_{\alpha,E}}|{\frac{ \boldsymbol{\nabla}^2 }{2}}|{\Psi_{SC}(E)}\rangle + \langle{\varphi_{\alpha,E}}|{E-V}|{\Psi_{SC}(E)}\rangle \end{aligned} \end{equation}
由于 $(- \boldsymbol{\nabla}^2 /2+V)\varphi_{\alpha,E} = E\varphi_{\alpha,E}$
\begin{equation} \langle{\varphi_{\alpha,E}}|{E-V}|{\Psi_{SC}(E)}\rangle = - \langle{\frac{ \boldsymbol{\nabla}^2 }{2} \varphi_{\alpha,E}}|{\Psi_{SC}(E)}\rangle \end{equation}

   根据格林第二恒等式2

\begin{equation} \int (u \boldsymbol{\nabla}^2 v - v \boldsymbol{\nabla}^2 u) \,\mathrm{d}{V} = \oint (u \boldsymbol\nabla v - v \boldsymbol\nabla u) \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{S}} } \end{equation}
可以把式 3 写成面积分(注意 $\varphi_{\alpha,E}$ 是一个实函数)
\begin{equation} \left\langle \varphi_{\alpha,E} \middle| \Psi(t_0) \right\rangle = \frac{1}{2} \oint [\varphi_{\alpha,E} \boldsymbol\nabla \Psi_{SC} - \Psi_{SC} \boldsymbol\nabla \varphi_{\alpha,E}] \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{S}} } \end{equation}
注意这里的矢量都是 6 维的.

   另外由于这个面积分距离原子核很远,可以用 $\mathrm{He}^+$ 束缚态和库仑平面波的对称化乘积来代替.注意 $ \left\lvert n_1,l_1,m_1,l_2,k_2 \right\rangle $ 和 $ \left\lvert n_1,l_1,m_1, \boldsymbol{\mathbf{k}} _2 \right\rangle $ 在无穷远处都是没有额外相位的.

2. 高维曲面积分

   6 维高斯定理为

\begin{equation} \oint \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{S}} } = \int \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} \,\mathrm{d}{V} \end{equation}
令六维矢量场 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} = (f_{r1} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1 + f_{\theta1} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} _1 + f_{\phi1} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} _1, \quad f_{r2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2 + f_{\theta2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} _2 + f_{\phi2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} _2) \end{equation}
其中 $f$ 都是 $r_1,\theta_1,\phi_1,r_2,\theta_2,\phi_2$ 的函数.

   右边的体积分的区域为两个球体 $r_1 < R_1$ 和 $r_2 < R_2$ 的张量积.那么左边的面积分为

\begin{equation} \begin{aligned} \oint \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{S}} } =&\int f_{r1}\cdot R_1^2\sin\theta_1 \,\mathrm{d}{\theta_1} \,\mathrm{d}{\phi_1} \cdot r_2^2\sin\theta_2 \,\mathrm{d}{r_2} \,\mathrm{d}{\theta_2} \,\mathrm{d}{\phi_2} \\ &+\int f_{r2}\cdot R_2^2\sin\theta_2 \,\mathrm{d}{\theta_2} \,\mathrm{d}{\phi_2} \cdot r_1^2\sin\theta_1 \,\mathrm{d}{r_1} \,\mathrm{d}{\theta_1} \,\mathrm{d}{\phi_1} \end{aligned} \end{equation}

   令两个径向波函数分别为 $\varphi_{l_1,l_2}^{L,M}$ 和 $\psi_{l_1,l_2}^{L,M}$,那么式 6 中的第一项的积分为

\begin{equation} \begin{aligned} \oint \varphi_{\alpha,E} \boldsymbol\nabla \Psi_{SC} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{S}} } &= \sum_{l_1,l_2,L,M}\int_0^{R_2} \varphi_{l_1,l_2}^{L,M}(R_1,r_2) \frac{\partial}{\partial{r_1}} \psi_{l_1,l_2}^{L,M}(R_1,r_2) \,\mathrm{d}{r_2} \\ &+\sum_{l_1,l_2,L,M}\int_0^{R_1} \varphi_{l_1,l_2}^{L,M}(r_1,R_2) \frac{\partial}{\partial{r_2}} \psi_{l_1,l_2}^{L,M}(r_1,R_2) \,\mathrm{d}{r_1} \end{aligned} \end{equation}
假设 $\varphi_{l_1,l_2}^{L,M}(r_1,r_2)$ 中 $r_1$ 是束缚态,那么上面第一个求和为零.第二个求和中,$r_1 \ll R_2$,所以 $\varphi_{l_1,l_2}^{L,M}(r_1,R_2)$ 可以用乘积来替代.式 6 中第二项的推导类似.


1. ^ 参考 Renate Pazourek Thesis Eq 3.36
2. ^ 推导:$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} (u \boldsymbol\nabla v - v \boldsymbol\nabla u) = u \boldsymbol{\nabla}^2 v - v \boldsymbol{\nabla}^2 u$,再使用高斯定理


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