BCS-BEC Crossover 的平均场描述

贡献者： addis

　　仍然沿用 BCS 的 Hamiltonian，在动量空间里面，

\begin{matrix} (1) & H - μ N = \sum_{k, σ} (ϵ_{k} - μ) a_{k, σ}^{†} a_{k, σ} + \frac{1}{V} \sum_{k, k^{'}} U_{k, k^{'}} a_{k ↑}^{†} a_{- k ↓}^{†} a_{- k ↓} a_{k ↑} . \end{matrix}

　　假设不是一个微扰的情况下，也可以用 $| Ψ ⟩ = \prod_{k} (u_{k} + v_{k} a_{k ↑}^{†} a_{- k ↓}^{†}) | 0 ⟩$ 来描述基态。仍然定义平均场参数 $Δ = ⟨ a_{- k ↓}, a_{k ↑} ⟩$ 。不同的是，研究冷原子问题的时候，并不是只有在费米面附近才有 $U$ ，而是一个队任意动量都可以的情况。重复同样的 Bogoliubov 变换，我们能够解出来 $u_{k}^{2}, v_{k}^{2} = 1 / 2 (1 \pm ϵ_{k} / E_{k})$ ，其中元激发的能级关系 $E_{k} = \sqrt{(ϵ_{k} - μ)^{2} + | Δ |^{2}}$ 。利用自洽方程，我们得到

\begin{matrix} (2) & - \frac{1}{U} = \frac{1}{V} \sum_{k} \frac{1}{2 E_{k}}, \end{matrix}

而我们知道，式 45 给出了

\begin{matrix} (3) & \frac{m a_{s}}{4 π ℏ^{2}} = \frac{1}{g} + \frac{1}{V} \sum_{k} \frac{1}{ℏ^{2} k^{2} / m} = \frac{1}{V} \sum_{k} (\frac{1}{2 ϵ_{k}} - \frac{1}{2 E_{k}}) . \end{matrix}

定义无量纲参数来简化问题：

\begin{matrix} (4) & x^{2} = \frac{ℏ^{2} k^{2}}{2 m} \frac{1}{Δ}, x_{0} = \frac{μ}{Δ}, ϵ_{x} = x^{2} - x_{0} = \frac{ϵ_{k} - μ}{Δ}, E_{x} = \sqrt{1 + ϵ_{x}^{2}} = \frac{E_{k}}{Δ} \end{matrix}

把求和化为积分，也就是

\frac{1}{V} \sum_{k} \to \int_{0}^{\infty} d^{3} k / (2 π)^{3}

，利用求对称性，我们很容易转写一些式子：

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} - \frac{m Δ}{4 π ℏ^{2} a_{s}} & = \frac{1}{V} \sum_{k} (\frac{Δ}{2 E_{k}} - \frac{Δ}{2 ϵ_{k}}), \\ - \frac{m Δ}{4 π ℏ^{2} a_{s}} & = \int_{0}^{\infty} \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} (\frac{1}{2 E_{x}} - \frac{1}{2 x^{2}}), \\ = \int_{0}^{\infty} \frac{d k \cdot 4 π k^{2}}{(2 π)^{3}} (\frac{1}{2 E_{x}} - \frac{1}{2 x^{2}}), \\ - \frac{1}{a_{s}} & = \frac{2}{π Δ} \frac{ℏ^{2}}{m} \int_{0}^{\infty} d k \cdot k^{2} (\frac{1}{2 E_{x}} - \frac{1}{2 x^{2}}), \\ k^{2} & = \frac{m x^{2}}{ℏ^{2}}, \\ - \frac{1}{a_{s}} & = \frac{2}{π} \sqrt{\frac{2 m Δ}{ℏ^{2}}} \int_{0}^{\infty} d x \cdot x^{2} (\frac{1}{E_{x}} - \frac{1}{x^{2}}) . \end{aligned} \end{matrix}

可以看出来，右边的积分纯粹只是

x_{0}

的函数，可以定义

\begin{matrix} (6) & I_{1} (x_{0}) = \int_{0}^{\infty} d x \cdot x^{2} (\frac{1}{E_{x}} - \frac{1}{x^{2}}) . \end{matrix}

而另一方面，我们可以根据热力学定律知道平均粒子数

N = - \partial Ω / \partial μ

得到

\begin{matrix} (7) & N = \sum_{k} (1 - \frac{ϵ_{k} - μ}{E_{k}}) . \end{matrix}

而这个

N

是要满足我们的要求的，也就是说

n = N / V = k_{F}^{3} / (3 π^{2})

。我们当然也可以用类似的无量纲参数来处理：

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} n & = \frac{1}{V} \sum_{k} (1 - \frac{ϵ_{k} - μ}{E_{k}}) \\ = \frac{1}{V} \sum_{k} (1 - \frac{ϵ_{x} Δ}{E_{x} Δ}) \\ = \int_{0}^{\infty} \frac{d k \cdot 4 π k^{2}}{(2 π)^{3}} (1 - \frac{ϵ_{x}}{E_{x}}) \\ = \frac{1}{2 π^{2}} \frac{2 m Δ}{ℏ^{2}} \sqrt{\frac{2 m Δ}{ℏ^{2}}} \int_{0}^{\infty} d x \cdot x^{2} (1 - \frac{ϵ_{x}}{E_{x}}) \\ = \frac{1}{2 π^{2}} {(\frac{2 m Δ}{ℏ^{2}})}^{3 / 2} I_{2} (x_{0}), \end{aligned} \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (9) & I_{2} (x_{0}) = \int_{0}^{\infty} d x \cdot x^{2} (1 - \frac{ϵ_{x}}{E_{x}}) . \end{matrix}

于是我们得到了两个方程（代替原本的自洽方程来给我们关于系统的信息）

\begin{matrix} (10) & {\begin{cases} \frac{Δ}{E_{F}} = {(\frac{2}{3 I_{2} (x_{0})})}^{2 / 3} \\ \frac{1}{k_{F} a_{s}} = - \frac{2}{π} {(\frac{2}{3 I_{2} (x_{0})})}^{1 / 3} I_{1} (x_{0}) \end{cases} . \end{matrix}

图 1：左：

Δ / E_{F}

k_{F} ξ_{pair}

，右：

μ / E_{F} (μ > 0), μ / (ϵ_{0} / 2) (μ < 0)

，区分两种情况是因为在 Bose 情况下没有费米能的定义，

ϵ_{0} \equiv 1 / (m a_{s}^{2})

　　但是，对于 $I_{1}, I_{2}$ 的渐进行为并不好分析，我们定义更多的积分

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} I_{3} (x_{0}) & = \int_{0}^{\infty} d x \frac{x^{4} ϵ_{x}}{E_{x}^{6}}, \\ I_{4} (x_{0}) & = \int_{0}^{\infty} d x \frac{x^{2}}{E_{x}^{2}}, \\ I_{5} (x_{0}) & = \int_{0}^{\infty} d x \frac{x^{2}}{E_{x}^{3}}, \\ I_{6} (x_{0}) & = \int_{0}^{\infty} d x \frac{x^{2} ϵ_{x}}{E_{x}^{3}} . \end{aligned} \end{matrix}

　　可以知道， $I_{1} = (2 x_{0} I_{6} - I_{5}), I_{2} = \frac{2}{3} (x_{0} I_{5} + I_{6})$ 。而 $I_{3}, I_{4}$ 是很好计算的。如果定义

\begin{matrix} (12) & x_{1}^{2} = \frac{x_{0} + \sqrt{1 + x_{0}^{2}}}{2}, \end{matrix}

就可以算出

\begin{matrix} (13) & \begin{aligned} I_{3} & = \frac{π}{16} \frac{x_{1} (1 + x_{1}^{4})}{(1 + x_{0}^{2})^{1 / 2}}, \\ I_{4} & = \frac{π}{2} x_{1} . \end{aligned} \end{matrix}

　　平均场下可以计算费米子对的特征距离

\begin{matrix} (14) & ξ_{pair}^{2} = \frac{1}{m^{2}} \frac{\int_{0}^{\infty} d k (k^{4} (ϵ_{k} - μ)^{2} / E_{k}^{6})}{\int_{0}^{\infty} d k (k^{2} / E_{k}^{2})} = \frac{2}{m Δ} \frac{I_{3}}{I_{4}}, \end{matrix}

还有一些其他的参数信息

\begin{matrix} (15) & \begin{aligned} \frac{Δ}{E_{F}} & = {(\frac{1}{x_{0} I_{5} + I_{6}})}^{2 / 3}, \\ \frac{μ}{E_{F}} & = x_{0} \frac{Δ}{E_{F}}, \\ \frac{1}{k_{F} a_{s}} & = - \frac{4}{π} \frac{x_{0} I_{6} - I_{5}}{(x_{0} I_{5} + I_{6})^{1 / 3}}, \\ k_{F} ξ_{pair} & = \sqrt{\frac{1 + x_{1}^{4}}{2}} \frac{(x_{0} I_{5} + I_{6})^{1 / 3}}{(1 + x_{0}^{2})^{1 / 4}} . \end{aligned} \end{matrix}

　　现在仔细分析一下渐进行为：

$x_{0} \to \infty$ ，此时 $μ \to E_{F}$ ， $I_{5} \sim \sqrt{x_{0}}$ ， $I_{6} \sim \ln x_{0} / (2 \sqrt{x_{0}})$ ，我们的 $1 / k_{F} a_{s} \to (2 / π) \ln x_{0}$ ， $a_{s} \to 0^{+}$ ，表现为微弱的吸引力，就是 BCS 态的情况。此时 $k_{F} ξ_{pair} \to x_{0} / \sqrt{2}$ 。
$x_{0} \to - \infty$ ， $I_{5} \sim π / (16 | x_{0} |^{3 / 2}), I_{6} \sim π / (4 | x_{0} |^{1 / 2})$ 。此时 $Δ \to \infty, μ \to - \infty, a_{s} \to 0^{+}, k_{F} ξ_{pair} \to 0^{+}$ 。表现为强吸引力（ $Δ$ ），就是 BEC 极限。

　　可以用 $k_{f} ξ_{pair}$ 作为参数反解很多信息，如图 1 。

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