Feshbach 共振

                     

贡献者： 待更新

　　 相互作用 Hamiltonian，我们考虑一个坐标表象张量积一个 open-closed 的 channel 表象。这种情况下，可以写为：

其中因为约化所以 $2m\to m$。此外， 这其实就是对我们之前的物理要求：在远处 close 通道有一个远高于能标的渐进值，近处有一个相互作用（$W$）但是很小。它是由超精细结构提供的，比 $|V_{\text{open}}-V_{\text{close}}|$ 小几个量级。

　　 在很前面的时候，我们知道，$E\to 0$ 的情况下，波函数可以写为 $\mathrm{\Psi }=\frac{r-a_s}{r}|\text{open}⟩$。

　　 在近处，我们考虑相互作用部分的本征态 $|\pm ⟩$：

其中，$\tan 2\theta =2W/|V_{\text{open}}-V_{\text{close}}|$，本征值可以近似认为是 $V_{\text{open}}$ 和 $V_{\text{close}}$。可以用未归一的波函数来描述这两个本征态各自独立的情况： 其中，$q_{+},q_{-}$ 为该能量下的波矢，$A$ 是一个系数。由于整体 $E\to 0$ 为零能散射，所以 ${\hslash }^2{q}^2/m$ 就应该等于负的相互作用本征值，也就是有

　　 考虑在 $r⩾r_0$ 的位置，体系波函数就不再会包含 close 成分，也就是说，$⟨\text{close}|\mathrm{\Psi }⟩(r_0)=0$，从而告诉我们这个系数 $A$ 满足

此外，open 态在 $r_0$ 处要连续，不仅是波函数还有其导数。利用之前得到的关系，可以有 其中 经过化简我们得到

　　 可以看到，因为 $\theta \to 0$，主要成分有 $q_{+}$ 贡献。在没有相互作用的时候，我们有

只有在 $\tan \left(q_{-}{r}_0\right)\to 0$ 的时候，第二项才有贡献。 考虑一个体系的束缚态，能量 $E_c$，其满足 在 $E_c\to 0$ 的时候，$q_{-}\sim q$，从而 也就是说，第二项约为 此时， 其中，$B$ 为施加的磁场，而我们的 $E_c$ 则由磁场调控（因为磁矩不一样）：$E_c\to E_c+\delta \mu B$，而 $\mathrm{\Delta }B=\frac{{\hslash }^2}{\delta \mu m}\gamma (a_{\text{bg}}-r_0)$，$B_{\text{res}}=-E_c/\delta \mu +\mathrm{\Delta }B$，都是一些以 $B$ 参数的东西。