贡献者： 待更新
相互作用 Hamiltonian，我们考虑一个坐标表象张量积一个 open-closed 的 channel 表象。这种情况下，可以写为：
\begin{equation}
\hat{H} = -\frac{\hbar^2\nabla^2}{m}\otimes I_2+V_{2\times2}~.
\end{equation}
其中因为约化所以 $2m\to m$。此外，
\begin{equation}
V_{2\times2} = \begin{cases}
\left(\begin{matrix}
-V_{\text{open}} & W\\
W & -V_{\text{close}}
\end{matrix}\right) & (r < r_0)\\
\left(\begin{matrix}
0 & 0\\
0 & +\infty
\end{matrix}\right) & (r > r_0)
\end{cases}~
\end{equation}
这其实就是对我们之前的物理要求：在远处 close 通道有一个远高于能标的渐进值，近处有一个相互作用（$W$）但是很小。它是由超精细结构提供的，比 $|V_{\text{open}}-V_{\text{close}}|$ 小几个量级。
在很前面的时候，我们知道，$E\to0$ 的情况下，波函数可以写为 $\Psi=\frac{r-a_s}{r}|\text{open}\rangle$。
在近处，我们考虑相互作用部分的本征态 $|\pm\rangle$：
\begin{equation}
|+\rangle = \left(\begin{matrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{matrix}\right),\quad |-\rangle = \left(\begin{matrix}-\sin\theta\\\cos\theta\end{matrix}\right)~.
\end{equation}
其中，$\tan2\theta = 2W/|V_{\text{open}}-V_{\text{close}}|$，本征值可以近似认为是 $V_{\text{open}}$ 和 $V_{\text{close}}$。可以用未归一的波函数来描述这两个本征态各自独立的情况：
\begin{equation}
|\Psi\rangle\propto\frac{1}{r}\left[ \sin\left(q_+r\right) |+\rangle + A \sin\left(q_-r\right) |-\rangle\right]~.
\end{equation}
其中，$q_+,q_-$ 为该能量下的波矢，$A$ 是一个系数。由于整体 $E\to0$ 为零能散射，所以 $\hbar^2q^2/m$ 就应该等于负的相互作用本征值，也就是有
\begin{equation}
\frac{\hbar^2q_{+/-}^2}{m} = V_{\text{open}}/V_{\text{close}}~.
\end{equation}
考虑在 $r\geqslant r_0$ 的位置，体系波函数就不再会包含 close 成分，也就是说，$\langle\text{close}|\Psi\rangle(r_0) = 0$，从而告诉我们这个系数 $A$ 满足
\begin{equation}
A=-\tan\theta\frac{ \sin\left(q_+r_0\right) }{ \sin\left(q_-r_0\right) }~.
\end{equation}
此外，open 态在 $r_0$ 处要连续，不仅是波函数还有其导数。利用之前得到的关系，可以有
\begin{equation}
\left.\frac{L'}{L}\right|_{r=r_0} = \left.\frac{(r-a_s)'}{r-a_s}\right|_{r=r_0}~.
\end{equation}
其中
\begin{equation}
L = \sin\left(q_+r\right) \cos\theta - \frac{ \sin\left(q_+r_0\right) }{ \sin\left(q_-r_0\right) } \sin\left(q_-r\right) \tan\theta~,
\end{equation}
经过化简我们得到
\begin{equation}
\frac{q_+\cos^2\theta}{ \tan\left(q_+r_0\right) }+\frac{q_-\sin^2\theta}{ \tan\left(q_-r_0\right) } = \frac{1}{r_0-a_s}~.
\end{equation}
可以看到，因为 $\theta\to0$，主要成分有 $q_+$ 贡献。在没有相互作用的时候，我们有
\begin{equation}
\frac{1}{r_0-a_{\text{bg}}} = \frac{q_+}{ \tan\left(q_+r_0\right) }~.
\end{equation}
只有在 $ \tan\left(q_-r_0\right) \to0$ 的时候，第二项才有贡献。
考虑一个体系的束缚态，能量 $E_c$，其满足
\begin{equation}
\left. \sin\left(qr\right) \right|_{r=0,r_0} = 0,\quad q = \sqrt{\frac{m(V_c+E_c)}{\hbar^2}}~.
\end{equation}
在 $E_c\to0$ 的时候，$q_-\sim q$，从而
\begin{equation}
\tan\left(q_-r_0\right) \sim (q_- -q) r_0 = \frac{1}{\hbar}\sqrt{m}(\sqrt{V_c}-\sqrt{V_c+E_c}) =-\frac{mE_c}{2\hbar^2 q_-}~.
\end{equation}
也就是说，第二项约为
\begin{equation}
-\frac{2\hbar^2q_-^2\theta^2}{mr_0}\frac{1}{E_c} = -\gamma\frac{1}{E_c}, \gamma\equiv\frac{2\hbar^2q_-^2\theta^2}{mr_0} ~.
\end{equation}
此时，
\begin{equation}
\frac{a_s-r_0}{a_{\text{bg}}-r_0} = 1-\frac{\Delta B}{B-B_{\text{res}}}~.
\end{equation}
其中，$B$ 为施加的磁场，而我们的 $E_c$ 则由磁场调控（因为磁矩不一样）：$E_c\to E_c+\delta\mu B$，而 $\Delta B = \frac{\hbar^2}{\delta\mu m}\gamma(a_{\text{bg}}-r_0)$，$B_{\text{res}} = -{E_c}/{\delta\mu}+\Delta B$，都是一些以 $B$ 参数的东西。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。