等差与等比数列总结（初等数学）

贡献者： ACertainUser

预备知识　等差数列（高中），等比数列（高中）

表1：等差与等比数列

	等差数列	等比数列
例子	$1, 2, 3, 4, 5, . . .$	$1, 2, 4, 8, 16, . . .$
通项公式 ( $n = 1, 2, 3, . . .$ )	$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$	$a_{n} = a_{1} q^{n - 1}$ $q \neq 0$
递推公式	$a_{n + 1} = a_{n} + d$	$a_{n + 1} = a_{n} \cdot q$
项数	$n = \frac{a_{n} - a_{1}}{d} + 1$	$n = \frac{\ln \frac{a_{n}}{a_{1}}}{\ln q} + 1 = \log_{q} \frac{a_{n}}{a_{1}} + 1$
前 $n$ 项和 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n}$	$S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) n}{2}$	$S_{n} = \frac{a_{1} (1 - q^{n})}{1 - q}$ $(q \neq 1)$
一个小结论	$p + q = m + r \Rightarrow a_{p} + a_{q} = a_{m} + a_{r}$	$p + q = m + r \Rightarrow a_{p} \cdot a_{q} = a_{m} \cdot a_{r}$

　　本文中， $n$ 代表序号 $n = 1, 2, 3, . . .$ ， $a_{n}$ 代表数列中的第 $n$ 项， $d$ 代表等差数列的公差， $q$ 代表等比数列的公比。

例 1　

　　求 $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + . . .$

　　我们发现这是一个公比为 $1 / 2$ 的等比数列。尽管有无穷个数字相加，但累和结果似乎是一个有限的数： $lim_{n \to + \infty} S_{n} = lim_{n \to + \infty} \frac{a_{1} (1 - q^{n})}{1 - q} = lim_{n \to + \infty} \frac{\frac{1}{2} (1 - (\frac{1}{2})^{n})}{1 - \frac{1}{2}} = 1$ 所谓 “一尺之棰，日取其半，万世不竭”，反过来说，把万世中取得的这些棰加起来，也不过一尺。

　　这个结论可以很方便地推广至所有 $0 < q < 1$ 的等比数列，在高数中这个结论非常有用： $lim_{n \to + \infty} S_{n} = \frac{a_{1}}{1 - q} 0 < q < 1$ 然而另一个看起来十分相似的式子（调和级数）就没有这么幸运，主流理论认为他是发散的： $S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + . . . \to + \infty$

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