等差与等比数列总结(初等数学)

                     

贡献者: ACertainUser

预备知识 等差数列(高中),等比数列(高中)
表1:等差与等比数列
等差数列 等比数列
例子 $$1,2,3,4,5,...~$$ $$1,2,4,8,16,...~$$
通项公式 ($n=1,2,3,...$) $$a_n = a_1 + (n-1)d~$$ $$a_n = a_1 q^{n-1}~$$ $$q\ne0~$$
递推公式 $$a_{n+1} = a_n + d~$$ $$a_{n+1} = a_n \cdot q~$$
项数 $$n = \frac{a_n-a_1}{d} + 1~$$ $$n = \frac{\ln{\frac{a_n}{a_1}}}{\ln{q}} + 1 = \log_q \frac{a_n}{a_1}+1~$$
前 $n$ 项和 $S_n=a_1+a_2+...+a_n$ $$S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}~$$ $$S_n = \frac{a_1 (1-q^n)}{1-q}~$$ $$(q\ne 1)~$$
一个小结论 $$p+q=m+r \Rightarrow a_p+a_q = a_m + a_r~$$ $$p+q=m+r \Rightarrow a_p \cdot a_q = a_m \cdot a_r~$$

   本文中,$n$ 代表序号 $n=1,2,3,...$,$a_n$ 代表数列中的第 $n$ 项,$d$ 代表等差数列的公差,$q$ 代表等比数列的公比。

例 1 

   求 $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...$

   我们发现这是一个公比为 $1/2$ 的等比数列。尽管有无穷个数字相加,但累和结果似乎是一个有限的数: $$\lim_{n \to +\infty} S_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{a_1 (1-q^n)}{1-q} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1}{2} (1-(\frac{1}{2})^n)}{1-\frac{1}{2}} =1 ~$$ 所谓 “一尺之棰,日取其半,万世不竭”,反过来说,把万世中取得的这些棰加起来,也不过一尺。

   这个结论可以很方便地推广至所有 $0< q<1$ 的等比数列,在高数中这个结论非常有用: $$\lim_{n \to +\infty} S_n = \frac{a_1}{1-q} \qquad 0< q<1~$$ 然而另一个看起来十分相似的式子(调和级数)就没有这么幸运,主流理论认为他是发散的: $$S = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...\to+\infty~$$


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利