等差与等比数列总结（初等数学）
贡献者： ACertainUser
表1：等差与等比数列
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| 等差数列 | 等比数列
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例子 | $$1,2,3,4,5,...~$$ | $$1,2,4,8,16,...~$$
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通项公式 ($n=1,2,3,...$) | $$a_n = a_1 + (n-1)d~$$ | $$a_n = a_1 q^{n-1}~$$ $$q\ne0~$$
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递推公式 | $$a_{n+1} = a_n + d~$$ | $$a_{n+1} = a_n \cdot q~$$
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项数 | $$n = \frac{a_n-a_1}{d} + 1~$$ | $$n = \frac{\ln{\frac{a_n}{a_1}}}{\ln{q}} + 1 = \log_q \frac{a_n}{a_1}+1~$$
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前 $n$ 项和 $S_n=a_1+a_2+...+a_n$ | $$S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}~$$ | $$S_n = \frac{a_1 (1-q^n)}{1-q}~$$ $$(q\ne 1)~$$
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一个小结论 | $$p+q=m+r \Rightarrow a_p+a_q = a_m + a_r~$$ | $$p+q=m+r \Rightarrow a_p \cdot a_q = a_m \cdot a_r~$$
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本文中，$n$ 代表序号 $n=1,2,3,...$，$a_n$ 代表数列中的第 $n$ 项，$d$ 代表等差数列的公差，$q$ 代表等比数列的公比。
例 1
求 $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...$
我们发现这是一个公比为 $1/2$ 的等比数列。尽管有无穷个数字相加，但累和结果似乎是一个有限的数：
$$\lim_{n \to +\infty} S_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{a_1 (1-q^n)}{1-q}
= \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1}{2} (1-(\frac{1}{2})^n)}{1-\frac{1}{2}}
=1 ~$$
所谓 “一尺之棰，日取其半，万世不竭”，反过来说，把万世中取得的这些棰加起来，也不过一尺。
这个结论可以很方便地推广至所有 $0< q<1$ 的等比数列，在高数中这个结论非常有用：
$$\lim_{n \to +\infty} S_n = \frac{a_1}{1-q} \qquad 0< q<1~$$
然而另一个看起来十分相似的式子（调和级数）就没有这么幸运，主流理论认为他是发散的：
$$S = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...\to+\infty~$$
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