Lemma 1 分子电流观点
对于物质磁性的解释，把每个宏观体积元内的分子看成完全一样的电流环，及具有同样的面积 $a$ 和取向（由面元矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 表示），环内具有同样的电流 $I$，而磁性由分子电流引发．故而后面eq. 4 可以把电流密度的体积分转变为电流的环路积分．
矢势的多级展开
磁场矢势在空间中定义为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} )=\dfrac {\mu_0}{4\pi} \int_v \dfrac{ \boldsymbol{\mathbf{J}} ^{\prime}( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) \,\mathrm{d}{V} ^{\prime}}{R}
\end{equation}
势能零点在无穷远点，而电流分布在小区域 $V$ 内，则，可以对体积 $V$ 内的 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$ 进行多级泰勒展开（$R$ 为 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 到体积 $V$ 内的势能零点的距离）
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} )=\dfrac {\mu_0}{4\pi}\int_V \boldsymbol{\mathbf{J}} ^{\prime}( \boldsymbol{\mathbf{x}} )\Big[\dfrac{1}{R}- \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime} \cdot \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \dfrac{1}{R}+\dfrac{1}{2!}\sum_{i,j}x_i^{\prime}x_j^{\prime} \frac{\partial^2 }{\partial x_i \partial x_j} {\dfrac 1 R}+\cdots\Big] \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{}}} V^{\prime}
\end{equation}
中，第一项
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} ^{(0)}( \boldsymbol{\mathbf{x}} )=\dfrac {\mu_0}{4\pi R}\int_V \boldsymbol{\mathbf{R}} J^{\prime}( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) \,\mathrm{d}{V^{\prime}}
\end{equation}
由于电流的连续性，把电流分为许多闭合的流管，对于每一个流管来说，有
\begin{equation}
\int_V \boldsymbol{\mathbf{J}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}) \,\mathrm{d}{V^{\prime}} =\oint_L I \,\mathrm{d}{l} =I\oint_L \,\mathrm{d}{l} =0
\end{equation}
得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} ^{(0)}=0
\end{equation}
对展开式第二项
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} ^{(1)}=-\dfrac{\mu_0 }{4\pi}\int_V \boldsymbol{\mathbf{J}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}) \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}\cdot \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \dfrac1 R \,\mathrm{d}{V^{\prime}}
\end{equation}
由
eq. 4 得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} ^{(1)}=-\dfrac{\mu_0 I }{4\pi}\int_l \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}\cdot \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \dfrac1 R \,\mathrm{d}{V^{\prime}} =\dfrac{\mu_0 I }{4\pi}\int_l \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}\cdot\dfrac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }R^3 \,\mathrm{d}{l} ^{\prime}
\end{equation}
其中有 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{}}} x^{\prime}= \,\mathrm{d}{l} ^{\prime}$，因为 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}$ 为闭合流管上的坐标．
全微分绕闭合回路积分为 $0$
\begin{equation}
0=\oint_L \,\mathrm{d}{( \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} ) \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}} =\oint_L ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} ) \,\mathrm{d}{l} ^{\prime}+\oint_l ( \,\mathrm{d}{l} ^{\prime}\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} ) \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}
\end{equation}
而
\begin{equation}
\oint_L ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} ) \,\mathrm{d}{l^{\prime}} =\dfrac1 2\oint_L ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}\times \,\mathrm{d}{l} ^{\prime})\times \boldsymbol{\mathbf{R}}
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} ^{(1)}=\dfrac{\mu_0}{4\pi R^3}\cdot\dfrac{I}{2}\oint_L ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}\times \,\mathrm{d}{l^{\prime}} )\times \boldsymbol{\mathbf{R}} =\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{ \boldsymbol{\mathbf{m}} \times \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3}
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{m}} =\dfrac{1}{2}\oint_L ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}\times \,\mathrm{d}{l^{\prime}} )$ 被称为磁矩，而对于一个小线圈（分子电流），他所围的面元 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{S}} $ 可以表示为
\begin{equation}
\Delta \boldsymbol{\mathbf{S}} =\dfrac 1 2\oint_L \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}\times \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} ^{\prime}}
\end{equation}
故而，有等式
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{m}} =I\Delta \boldsymbol{\mathbf{S}}
\end{equation}