电多极展开
若空间中的一个球内（$r < a$）存在静止的电荷分布 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$，那么球外的电势 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$（$r > a$）可以展开为径向函数和球谐函数之积的形式
\begin{equation}
V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \sum_{l = 0}^\infty \sum_{m = -l}^l \frac{C_{l,m}}{r^{l+1}} Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )
\end{equation}
其中常数 $C_{l,m}$ 为
\begin{equation}
C_{l,m} = \frac{1}{(2l+1)\epsilon_0} \int \rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) r^l Y_{l,m}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \,\mathrm{d}^{3}{r}
\end{equation}
当 $m = 0$ 时，$l = 1$ 的项就是电单极子（各向同性），$l = 2$ 的项就是电偶极子（$\propto\cos \theta$），$l = N$ 的项叫做电 $N$ 极子．
推导
首先我们给出单个点电荷势能的展开公式
\begin{equation}
\frac{1}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \right\rvert } = 4\pi \sum_{l=0}^{\infty} \frac{1}{2l+1} \frac{r_ < ^l}{r_ > ^{l+1}} \sum_{m = -l}^l Y_{l,m}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1) Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2)
\end{equation}
其中 $r_ < := \min \left\{r_1, r_2 \right\} $，$r_ > := \max \left\{r_1, r_2 \right\} $．这就是为什么我们要求电荷必须在 $r < a$ 的球内而 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 必须在球外计算．
然后根据库仑势能有
\begin{equation}
V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \frac{\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \,\mathrm{d}^{3}{r'}
\end{equation}
令
eq. 3 中 $r_ < = r'$，$r_ > = r$，可得
eq. 1 ．