大气密度和压强

Prerequisite　一阶线性微分方程，理想气体分压定律，积分方程

Fig. 1：根据eq. 8 以及分压定律得到的大气压强随高度变化图，假设大气中没有水蒸气且温度恒定（来自维基百科）

　　¹以下介绍一个理想模型．假设大气是理想气体，密度随高度变化为 $\rho(z)$．所以高度 $z$ 处压强为

\begin{equation} P(z) = \int_{z}^\infty \rho(z') g \,\mathrm{d}{z'} \end{equation}

其中由于大气厚度远小于地球半径，我们取 $g$ 为常数．根据理想气体状态方程，

\begin{equation} PV = n R T \end{equation}

先假设大气只是由一种分子构成，摩尔质量为 $\mu$，即 $m = n\mu$，代入有

\begin{equation} P = \frac{m}{\mu V} RT = \frac{R}{\mu} \rho T \end{equation}

其中 $P, T, \rho$ 都是高度的函数．代入eq. 1 得关于 $\rho(z)$ 的积分方程

\begin{equation} \frac{R}{\mu} \rho(z) T(z) = \int_{z}^\infty \rho(z') g \,\mathrm{d}{z'} \end{equation}

通常来说海拔越高的地方气温越低，如果 $T(z)$ 是已知的，就可以解出 $\rho(z)$．方程两边对 $z$ 求导，整理得

\begin{equation} \rho'(z) + \frac{1}{T(z)} \left[T'(z) + \frac{\mu g}{R} \right] \rho(z) = 0 \end{equation}

这是一个一阶线性微分方程，可以直接用公式求解．把解出的 $\rho(z)$ 代入eq. 3 即可求出对应的压强 $P(z)$．

　　作为一种简单情况，假设温度不随高度变化，那么方程变为常系数的

\begin{equation} \rho'(z) + \frac{\mu g}{RT}\rho(z) = 0 \end{equation}

容易解得

\begin{equation} \rho(z) = \rho_0 \exp\left(-\frac{\mu g}{RT} z\right) \end{equation}

或者

\begin{equation} P(z) = P_0 \exp\left(-\frac{\mu g}{RT} z\right) \end{equation}

其中 $\rho_0, P_0$ 是某个高度 $z_0$ 处的大气密度和气压．这说明恒温条件下气压随海拔升高呈指数下降，且温度越低下降越快．

　　当大气中有多种气体时，可以对每种气体分别求解，把 $P_0$ 替换为改气体在 $z_0$ 处的分压．总密度就是每种气体的密度之和．大气中的水蒸气同样也可能随着高度变化．