Prerequisite 准静态过程
，分子撞击对容器壁的压强
理想气体是热力学中一个理想化的模型（可以类比自由落体，简谐振子等），用于探索密闭容器中一定量气体的压强，体积和温度之间的关系．该模型假设密闭容器中有一定量的气体（由原子或分子构成，以下统称为分子），假设气体非常稀薄，分子之间几乎不发生相互作用（例如碰撞），且与容器壁之间的碰撞是完全弹性的且在瞬间完成的，假设每个分子所受重力忽略不计．
理想气体状态方程最开始由实验得到，这是因为在日常环境下，大部分气体与理想气体符合较好．其最常见的形式为
\begin{equation}
PV = nRT
\end{equation}
其中 $P$ 是气体的压强（处处相等），$V$ 是容器的体积，$n$ 是气体分子的摩尔数，$R$ 是
气体常数（gas constant），$T$ 是热力学温度（单位为开尔文 “K” 见下文）．
一摩尔包含的粒子个数由阿伏伽德罗常数（Avogadro constant）精确定义为
\begin{equation}
N_A = 6.02214076\times 10^{23}
\end{equation}
为了定义气体常数，我们先来介绍热力学中一个重要的常数——
玻尔兹曼常数（Boltzmann constant），它被精确定义为
\begin{equation}
k_B = 1.380649\times 10^{-23} \,\mathrm{J/K}
\end{equation}
理想气体常数被定义为
\begin{equation}
R = k_B N_A = 8.31446261815324 \, \,\mathrm{J/K}
\end{equation}
这个数值同样是精确的．
令容器中总分子数为 $N = n N_A$，所以状态方程（eq. 1 ）也可以记为
\begin{equation}
PV = N k_B T
\end{equation}
从微观角度，热力学温度 可以由理想气体分子平均动能定义1
\begin{equation}
\bar E_k = \frac32 k_B T
\end{equation}
所以气体分子总动能为
\begin{equation}
E_k = \frac32 Nk_B T = \frac{3}{2}nRT
\end{equation}
Example 1 标准状况下气体分子密度
我们可以由理想气体状态方程得出化学中一个常用的常数：标准状况下（$273.15 \,\mathrm{K} $、$101 \,\mathrm{kPa} $）每摩尔气体的体积约为 $22.4L$．将温度和压强代入eq. 1 得
\begin{equation}
\frac{V}{n} = \frac{RT}{P} = \frac{8.314 \times 273.15}{1.01\times 10^5} \,\mathrm{m^3/mol} = 22.48 \,\mathrm{L/mol}
\end{equation}
注意理想气体的假设使结果有微小误差．
由经典力学推导
我们在 “分子撞击对容器壁的压强” 中已经详细推导了压强和分子速度的关系，以下重复的部分将简略带过．注意分子密度趋近于 0 的假设导致分子之间没有作用力，每个分子的运动都是可以看作是独立的．
假设长方体容器的 $x, y, z$ 三个方向的边长分别为 $a, b, c$，则体积为 $V = abc$．考虑一个初始延任意方向运动的分子，与容器壁发生完全弹性碰撞，它在 $x$ 方向的周期（即运动一个来回所需的时间）为 $2a/v_x$，每个周期带给 $x = a$ 容器壁的冲量为 $2m v_x$，该容器壁面积为 $bc$，所以受到该粒子的平均压强 $P$ 为冲量除以周期除以面积 $mv_x^2/V$，即
\begin{equation}
P_i V = mv_{x,i}^2
\end{equation}
注意这里我们用角标 $i$ 来表示第 $i$ 个分子．如果有 $N$ 个分子，质量都为 $m$，那么
\begin{equation}
P V = \sum P_i V = 2 N \left(\frac12 m \overline {v_x^2} \right) = 2 N \bar E_{kx}
\end{equation}
注意 $\overline {v_x^2}$ 和 $\bar v_x^2$ 是不同的．前者是先对每个分子的速度取平方再平均．而后者是先计算速度的平均值在平方．等式右边等于 $2N$ 乘以所有分子在 $x$ 方向的平均动能．由于我们假设分子运动各向同性（即不会出现某些方向的分子运动较快），所以平均的总动能等于单方向平均动能的 3 倍（注意这里我们假设是 3 维空间，如果是 $N_d$ 维空间，就是 $N_d$ 倍）
\begin{equation}
\bar E_k = \frac{1}{2} m (\overline {v_x^2} + \overline {v_y^2} + \overline {v_z^2}) = \frac{3}{2} m \overline {v_i^2}
\end{equation}
所以有（参考
eq. 8 ）
\begin{equation}
P V = \frac23 N \bar E_k
\end{equation}
这说明压强和体积的乘积等于分子总平动动能的 $2/3$．用
eq. 6 消去 $E_k$，就得到了
eq. 5 形式的理想气体状态方程．
1. ^ 注意这里的动能是平动动能，我们暂时不讨论气体分子的转动．