不确定原理
位置—动量不确定原理
单个粒子一维运动的波函数 $\psi(x)$ 的位置和动量的标准差为 $\sigma_x$ 和 $\sigma_p$
\begin{equation}
\sigma_x \sigma_p \leqslant \frac{\hbar}{2}
\end{equation}
Example 1 无限深势阱的束缚态
（未完成）证明束缚态满足eq. 1 ．
Example 2 高斯波包
（未完成）证明高斯波包可以使eq. 1 取等号．
不确定原理的拓展
任意两个物理量 $A$ 和 $B$ 都满足
\begin{equation}
\sigma_a \sigma_b \leqslant \frac{1}{2 \mathrm{i} } \left\langle v \middle| [A, B] \middle| v \right\rangle
\end{equation}
可以看成是该式的特例：令 $A = x, B = p$，根据正则对易关系
\begin{equation}
[A, B] = [x, p] = \mathrm{i} \hbar
\end{equation}
代入
eq. 2 得
eq. 1 ．
证明
令 $f = (A-a)v$，$g = (B-b)v$，使用柯西不等式 有
\begin{equation}
\sigma_a^2 \sigma_b^2 = \left\langle f \middle| f \right\rangle \left\langle g \middle| g \right\rangle \leqslant \left\lvert \left\langle f \middle| g \right\rangle \right\rvert ^2 = ( \operatorname{Re} \left\langle f \middle| g \right\rangle )^2 + ( \left\lvert \operatorname{Im} \left\langle f \middle| g \right\rangle \right\rvert )^2
\end{equation}
其中
\begin{equation}
\begin{aligned}
\operatorname{Im} \left\langle f \middle| g \right\rangle &= \frac{1}{2 \mathrm{i} }( \left\langle f \middle| g \right\rangle - \left\langle g \middle| f \right\rangle )
= \frac{1}{2 \mathrm{i} } \left\langle v \middle| [(A-a), (B-b)] \middle| v \right\rangle \\
&= \frac{1}{2 \mathrm{i} } \left\langle v \middle| [A, B] \middle| v \right\rangle
\end{aligned}
\end{equation}
忽略
eq. 4 中的 $ \operatorname{Re} $ 项（大于等于 0），得到
eq. 2 ．容易证明，$ \left\langle v \middle| [A, B] \middle| v \right\rangle $ 必然是一个纯虚数，所以
eq. 2 右边必为实数．